Lineares Gleichungssystem

Ein lineares Gleichungssystem sucht Werte der Unbekannten, die mehrere lineare Gleichungen gleichzeitig erfüllen. Fasst man die Koeffizienten in einer Matrix A, die Unbekannten in einem Vektor x und die rechten Seiten in einem Vektor b zusammen, lautet das gesamte System Ax = b. Diese Seite zeigt quadratische Systeme: zwei Gleichungen in x und y oder drei in x, y und z. Jedes System wird zweimal dargestellt, einmal nach Zeilen und einmal nach Spalten.

Nach Zeilen gelesen ist eine Gleichung in x und y mit mindestens einem von 0 verschiedenen Koeffizienten eine Gerade. Eine Lösung ist ein Punkt, der jede Gleichung erfüllt. Nach Spalten gelesen besagen dieselben Gleichungen: x-mal die erste Spalte a₁ plus y-mal die zweite Spalte a₂ ergibt b. Beide Bilder zeigen also dasselbe Zahlenpaar: Der Schnittpunkt links liefert die Kombination für b rechts. Das rechte Bild hat die Achsen ① und ②, eine für jede Gleichung. Seine Punkte stellen daher rechte Seiten dar, keine Werte von x und y.

Ein lineares Gleichungssystem hat genau eine, keine oder unendlich viele Lösungen. Bei det A ≠ 0 gibt es genau eine, unabhängig von b. Bei det A = 0 sind sowohl die Zeilen als auch die Spalten abhängig, sodass beide Bilder gleichzeitig entarten. Links werden die Geraden parallel oder fallen zusammen, sofern nicht eine Gleichung alle ihre Koeffizienten verloren hat. Rechts fallen die Spalten auf eine Gerade; manche rechten Seiten sind dadurch nicht mehr erreichbar. Gehört b dazu, widersprechen sich die Gleichungen, und die Elimination endet mit einer unmöglichen Gleichung wie 0 = 1. Andernfalls gibt es unendlich viele Lösungen.

Die Funktion Eliminieren führt das Gauß-Jordan-Verfahren schrittweise aus. Sie überführt das System in ein einfacheres mit genau denselben Lösungen. Jeder Schritt addiert ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen, multipliziert eine Gleichung mit einer von null verschiedenen Zahl oder vertauscht zwei Gleichungen. Jeder Schritt ist umkehrbar, daher geht keine Lösung verloren und keine kommt hinzu. Wird ein Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen addiert und schneiden sich die Geraden, dreht sich die veränderte Gerade um den Schnittpunkt: Die Lösung bleibt an ihrem Ort. Sind die Geraden parallel, wandert sie stattdessen ins Unendliche und hinterlässt 0 = c. Sind sie identisch, bleibt sie an ihrem Ort und wird zu 0 = 0. Im Spaltenbild entspricht derselbe Schritt einer Scherung; die Kombination bleibt gleich. Vertauschungen und Multiplikationen mit einer negativen Zahl erscheinen als Sprünge, weil eine stetige Ausführung über Systeme mit anderen Lösungen führen könnte.

Auch eine eindeutige Lösung kann sehr empfindlich sein. Sind zwei Geraden fast parallel, kann eine Änderung einer rechten Seite um 0,01 den Schnittpunkt weit verschieben.

Bei drei Unbekannten ist eine Gleichung mit mindestens einem von 0 verschiedenen Koeffizienten eine Ebene. Drei Ebenen können sich in einem Punkt, entlang einer Geraden, in einer ganzen Ebene oder gar nicht gemeinsam schneiden. Sie können sogar dann keinen gemeinsamen Punkt haben, wenn keine zwei parallel sind: Je zwei schneiden sich dann in einer Geraden, und diese drei Geraden verlaufen nebeneinander wie die Kanten eines Prismas. Die beiden 3D-Ansichten drehen sich nur zur leichteren Vergleichbarkeit gemeinsam, nicht weil ihre Achsen übereinstimmen.