Sistema de equações lineares

Um sistema de equações lineares procura valores das incógnitas que tornem verdadeiras várias equações lineares ao mesmo tempo. Reúna os coeficientes numa matriz A, as incógnitas num vetor x e os segundos membros num vetor b: todo o sistema se torna Ax = b. Esta página trabalha com sistemas quadrados, duas equações em x e y ou três em x, y e z, e desenha cada sistema duas vezes: por linhas e por colunas.

Por linhas, uma equação em x e y com pelo menos um coeficiente diferente de 0 é uma reta, e uma solução é um ponto que satisfaz todas as equações. Por colunas, as mesmas equações dizem que x cópias da primeira coluna a₁ mais y cópias da segunda coluna a₂ dão b. Assim, ambas as vistas mostram o mesmo par de números: a interseção à esquerda é a receita para b à direita. A vista da direita tem os eixos ① e ②, um por equação, pelo que os seus pontos são segundos membros, não valores de x e y.

Um sistema linear tem exatamente uma solução, nenhuma ou infinitas. Se det A ≠ 0, há exatamente uma, seja qual for b. Se det A = 0, as linhas são dependentes e as colunas também, pelo que ambas as vistas degeneram ao mesmo tempo. À esquerda, as retas tornam-se paralelas ou coincidem, a menos que uma equação tenha perdido todos os seus coeficientes. À direita, as colunas ficam numa mesma reta, pelo que alguns segundos membros deixam de ser alcançáveis. Se b for um deles, as equações contradizem-se e a eliminação termina numa equação impossível, como 0 = 1. Caso contrário, há infinitas soluções.

A opção Eliminar executa a eliminação de Gauss–Jordan passo a passo. Transforma o sistema noutro mais simples, com exatamente as mesmas soluções. Cada passo soma a uma equação um múltiplo de outra, multiplica uma equação por um número não nulo ou troca duas equações. Todos os passos são reversíveis, pelo que nenhuma solução se perde ou se acrescenta. Quando se soma a uma equação um múltiplo de outra e as retas se cruzam, a reta alterada roda em torno da interseção, pelo que a solução nunca se move. Se as retas forem paralelas, a reta desloca-se para o infinito e deixa 0 = c. Se coincidirem, fica no mesmo lugar e torna-se 0 = 0. Na vista por colunas, o mesmo passo é um cisalhamento e a receita mantém-se. As trocas e as multiplicações por números negativos aparecem como saltos, porque fazê-las gradualmente poderia passar por sistemas com outras soluções.

Uma solução única pode, ainda assim, ser muito sensível. Quando duas retas são quase paralelas, alterar um segundo membro em 0.01 pode deslocar muito a interseção.

Com três incógnitas, uma equação com pelo menos um coeficiente diferente de 0 é um plano. Três planos podem intersectar-se num ponto, numa reta, num plano inteiro ou não ter nenhum ponto comum. Podem não ter nenhum ponto comum mesmo que nenhum par seja paralelo: cada par intersecta-se então numa reta e as três retas seguem paralelas, como as arestas de um prisma. As duas vistas 3D rodam em conjunto apenas para facilitar a comparação, não porque os seus eixos coincidam.