Base e coordenadas

Uma base do plano é um par ordenado de vetores $b_1, b_2$ não colineares. Cada vetor $x$ pode então escrever-se de uma única forma como $x = c_1b_1 + c_2b_2$. Os números $c_1, c_2$ são as coordenadas de $x$ na base $B = (b_1, b_2)$, representadas por $[x]_B$.

À esquerda está a grelha padrão, com $b_1$ e $b_2$ como setas escuras, a grelha oblíqua que formam e $x$ a azul. À direita está o gráfico B, onde $b_1$ e $b_2$ são os lados do quadrado unitário e $x$ ocupa as suas coordenadas. Arraste $b_1$ ou $b_2$: à esquerda, $x$ não se move. Só mudam a grelha e os números, porque as coordenadas são uma leitura feita com uma régua, não uma propriedade da seta.

Para ler as coordenadas, leve $x$ até cada eixo de $B$, paralelamente ao outro vetor de base. Paralelamente a $b_2$, chega ao eixo $b_1$ em $c_1b_1$; paralelamente a $b_1$, chega ao eixo $b_2$ em $c_2b_2$. São os dois segmentos amarelos. Com as linhas tracejadas a partir de $x$, formam um paralelogramo cuja diagonal é $x$. Como $b_1$ e $b_2$ não são colineares, cada percurso encontra o seu eixo num único ponto: as coordenadas existem e são únicas.

Substitua $b_1$ por $k\,b_1$, com $k \ne 0$, e mantenha $b_2$. Como $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, a primeira coordenada passa a $c_1/k$ e a segunda não muda: uma régua com o dobro do comprimento dá metade da leitura. Rodar um vetor de base não segue esta regra e pode alterar ambas as coordenadas.

Coloque $b_1$ e $b_2$ lado a lado como colunas de uma matriz $P$. Então $x = c_1b_1 + c_2b_2$ significa $x = P\,[x]_B$: $P$ transforma coordenadas em $B$ em coordenadas padrão; no sentido contrário, é preciso $P^{-1}$.

O gráfico B é todo o plano transformado por $P^{-1}$. Esta transformação envia $b_1$ e $b_2$ para $(1, 0)$ e $(0, 1)$; a grelha de $B$ fica quadrada, enquanto a grelha padrão pode tornar-se oblíqua. Os vetores da base padrão $\hat\imath$ e $\hat\jmath$ chegam às colunas de $P^{-1}$. O gráfico usa coordenadas de B. Só conserva todos os comprimentos e ângulos quando $b_1$ e $b_2$ são vetores unitários perpendiculares.

Um atalho tentador é traçar perpendiculares de $x$ às retas de $b_1$ e $b_2$ e ler onde os pés caem. A opção Pés das perpendiculares mostra essa leitura. Dá as coordenadas quando $b_1 \perp b_2$; para vetores unitários perpendiculares, cada leitura é simplesmente o produto escalar $x\cdot b_i$. Numa base oblíqua, está errada para qualquer $x$ exceto 0.

Dois vetores colineares não são uma base. Nesse caso, $\det P = 0$ e a grelha colapsa sobre a reta, ou sobre O se ambos forem nulos. Se $x$ estiver na grelha colapsada, tem infinitas leituras: com $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ e $x = (3, 3)$, qualquer $(c_1, c_2)$ que satisfaça $c_1 + 2c_2 = 3$ serve. Se $x$ estiver fora dela, não tem nenhuma.