基与坐标

平面的一组基是有顺序的两个向量$b_1, b_2$，它们不在同一条直线上。这时每个向量$x$都能以唯一的方式写成$x = c_1b_1 + c_2b_2$，这两个数$c_1, c_2$就是$x$在基$B = (b_1, b_2)$下的坐标，记作$[x]_B$。

左图是标准网格：墨色箭头是$b_1$和$b_2$，斜网格由它们织成，蓝色箭头是$x$。右图是B坐标图：$b_1$和$b_2$在这里是单位正方形的两条边，$x$落在它的坐标上。拖$b_1$或$b_2$，左图里的$x$一动不动，变的只是网格和读数。坐标是用尺子量出来的读数，不是箭头本身的属性。

读坐标的办法，是让$x$沿着另一个基向量的方向退回到$B$的每条轴上。平行于$b_2$退回去，它落在$b_1$轴上的$c_1b_1$；平行于$b_1$退回去，它落在$b_2$轴上的$c_2b_2$。这就是两段黄色实线，它们和从$x$出发的虚线围成一个平行四边形，对角线正是$x$。$b_1$和$b_2$不在同一条直线上，每次退回都恰好落在轴上的一个点，所以坐标存在而且唯一。

把$b_1$换成$k\,b_1$（$k \ne 0$），$b_2$不动。因为$x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$，第一个坐标变成$c_1/k$，第二个不变：尺子长一倍，读数就少一半。转动基向量就没有这样的规律，两个坐标都可能变。

把$b_1$、$b_2$并排作为矩阵$P$的两列。$x = c_1b_1 + c_2b_2$说的就是$x = P\,[x]_B$：$P$把$B$下的坐标换成标准坐标，反过来就要用$P^{-1}$。

B坐标图就是用$P^{-1}$把整个平面搬过去的样子。它把$b_1$、$b_2$送到$(1, 0)$和$(0, 1)$，所以$B$的网格在这里是方的，我们的标准网格反而可能变成斜的。标准基向量$\hat\imath$和$\hat\jmath$落在$P^{-1}$的两列上。这张图按B坐标来画。只有$b_1$和$b_2$是互相垂直的单位向量时，所有长度和角度才保持不变。

一个很顺手的想法，是从$x$向$b_1$、$b_2$所在的直线作垂线，看垂足落在哪里。“垂足读数”画的就是这种读法。$b_1 \perp b_2$时，它给出的就是坐标；两个基向量是互相垂直的单位向量时，每个读数就是点积$x\cdot b_i$。在斜的基下，除了$x$是0，这种读法总是错的。

同一条直线上的两个向量不是一组基。这时$\det P = 0$，网格叠到那条直线上；两个向量都是零时，网格缩成O。$x$落在塌缩后的网格上时，读法有无穷多种：$b_2 = 2b_1 = (2, 2)$、$x = (3, 3)$时，凡是满足$c_1 + 2c_2 = 3$的$(c_1, c_2)$都行。$x$不在其中时，一种读法也没有。