Baz ve koordinatlar

Düzlemin bir bazı, aynı doğru üzerinde olmayan $b_1, b_2$ vektörlerinin sıralı çiftidir. Böylece her $x$ vektörü yalnızca bir biçimde $x = c_1b_1 + c_2b_2$ olarak yazılabilir. $c_1, c_2$ sayıları, $x$ vektörünün $B = (b_1, b_2)$ bazındaki koordinatlarıdır ve $[x]_B$ ile gösterilir.

Solda standart ızgara, koyu oklarla $b_1$ ve $b_2$, bunların oluşturduğu eğik ızgara ve mavi $x$ vardır. Sağda B koordinat çizimi bulunur: $b_1$ ve $b_2$ birim karenin kenarlarıdır; $x$ kendi koordinatlarında durur. $b_1$ veya $b_2$ sürüklendiğinde soldaki $x$ hareket etmez. Yalnızca ızgara ve sayılar değişir; çünkü koordinatlar okun özelliği değil, cetvelle yapılan bir okumadır.

Koordinatları okumak için $x$ noktasından diğer baz vektörüne paralel ilerleyerek $B$ bazının her eksenine dönün. $b_2$ yönüne paralel hareket, $b_1$ eksenine $c_1b_1$ noktasında ulaşır. $b_1$ yönüne paralel hareket, $b_2$ eksenine $c_2b_2$ noktasında ulaşır. Bunlar iki sarı parçadır; $x$ noktasından çıkan kesikli çizgilerle birlikte köşegeni $x$ olan bir paralelkenar oluştururlar. $b_1$ ve $b_2$ aynı doğru üzerinde olmadığından her hareket kendi eksenini tam bir noktada keser; dolayısıyla koordinatlar vardır ve tektir.

$k \ne 0$ olmak üzere $b_1$ yerine $k\,b_1$ alın; $b_2$ sabit kalsın. $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$ olduğu için ilk koordinat $c_1/k$ olur, ikincisi değişmez: iki kat uzun cetvel, yarısı kadar bir okuma verir. Bir baz vektörünü döndürmek bu kurala uymaz; iki koordinat da değişebilir.

$b_1$ ve $b_2$ vektörlerini $P$ matrisinin sütunları olarak yan yana koyun. O zaman $x = c_1b_1 + c_2b_2$ ifadesi $x = P\,[x]_B$ demektir: $P$, $B$ bazındaki koordinatları standart koordinatlara çevirir; ters yönde $P^{-1}$ gerekir.

B koordinat çizimi, tüm düzlemin $P^{-1}$ ile dönüştürülmüş hâlidir. $b_1$ ve $b_2$ vektörlerini $(1, 0)$ ve $(0, 1)$ konumlarına gönderir; böylece $B$ ızgarası burada kare olurken standart ızgara eğilebilir. Standart baz vektörleri $\hat\imath$ ve $\hat\jmath$, $P^{-1}$ matrisinin sütunlarına yerleşir. Çizim B koordinatlarıyla yapılır. Tüm uzunluk ve açılar yalnızca $b_1$ ve $b_2$ birbirine dik birim vektörlerse korunur.

Cazip bir kestirme yol, $x$ noktasından $b_1$ ve $b_2$ doğrularına dikmeler indirip ayakların konumlarını okumaktır. Dikme ayakları bu okumayı gösterir. $b_1 \perp b_2$ olduğunda koordinatları verir; birbirine dik birim vektörlerde her okuma doğrudan $x\cdot b_i$ skaler çarpımıdır. Eğik bazda ise 0 dışındaki her $x$ için yanlıştır.

Aynı doğru üzerindeki iki vektör baz oluşturmaz. Bu durumda $\det P = 0$ olur ve ızgara o doğruya çöker; iki vektör de sıfırsa yalnızca O kalır. $x$ çökmüş ızgaranın içindeyse sonsuz sayıda okuma vardır: $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ ve $x = (3, 3)$ için $c_1 + 2c_2 = 3$ koşulunu sağlayan her $(c_1, c_2)$ uygundur. $x$ dışarıdaysa hiçbir okuma yoktur.