기저와 좌표

평면의 기저는 한 직선 위에 있지 않은 순서 있는 벡터 쌍 $b_1, b_2$입니다. 그러면 모든 벡터 $x$를 $x = c_1b_1 + c_2b_2$와 같이 유일하게 나타낼 수 있습니다. 수 $c_1, c_2$가 기저 $B = (b_1, b_2)$에서 $x$의 좌표이며 $[x]_B$로 씁니다.

왼쪽은 표준 격자입니다. 먹색 화살표 $b_1$, $b_2$과 그 둘이 만드는 기울어진 격자, 파란 $x$를 보여 줍니다. 오른쪽은 B좌표 그림으로 $b_1$, $b_2$가 단위 정사각형의 변이 되고 $x$가 그 좌표에 놓입니다. $b_1$ 또는 $b_2$를 드래그해도 왼쪽의 $x$는 움직이지 않습니다. 격자와 숫자만 바뀝니다. 좌표는 자로 읽은 값이지 화살표의 속성이 아닙니다.

좌표를 읽으려면 $x$에서 다른 기저벡터와 나란하게 움직여 $B$의 각 축으로 돌아갑니다. $b_2$와 나란하게 움직이면 $b_1$축의 $c_1b_1$에, $b_1$과 나란하게 움직이면 $b_2$축의 $c_2b_2$에 닿습니다. 이것이 두 노란 선분입니다. $x$에서 나온 점선과 함께 $x$를 대각선으로 하는 평행사변형을 만듭니다. $b_1$, $b_2$가 한 직선 위에 있지 않아 각 이동 경로는 축과 정확히 한 점에서 만나므로 좌표가 존재하고 유일합니다.

$k \ne 0$일 때 $b_1$을 $k\,b_1$으로 바꾸고 $b_2$는 그대로 둡니다. $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$이므로 첫 좌표는 $c_1/k$가 되고 둘째 좌표는 변하지 않습니다. 자가 두 배 길어지면 읽은 값은 절반이 됩니다. 기저벡터를 회전할 때는 이 규칙이 성립하지 않으며 두 좌표가 모두 바뀔 수 있습니다.

$b_1$, $b_2$를 나란히 놓아 행렬 $P$의 열로 삼습니다. 그러면 $x = c_1b_1 + c_2b_2$은 곧 $x = P\,[x]_B$라는 뜻입니다. $P$는 $B$에서의 좌표를 표준좌표로 바꾸며, 반대로 가려면 $P^{-1}$이 필요합니다.

B좌표 그림은 평면 전체를 $P^{-1}$로 변환한 것입니다. $b_1$, $b_2$를 각각 $(1, 0)$, $(0, 1)$로 보내므로 $B$의 격자는 정사각형이 되고 표준 격자는 오히려 기울어질 수 있습니다. 표준기저벡터 $\hat\imath$, $\hat\jmath$은 $P^{-1}$의 각 열에 놓입니다. 이 그림은 B좌표로 그려집니다. $b_1$, $b_2$가 서로 수직인 단위벡터일 때만 모든 길이와 각도가 보존됩니다.

쉽게 떠올릴 방법은 $x$에서 $b_1$, $b_2$의 직선에 수선을 내리고 그 발의 위치를 읽는 것입니다. 수선의 발이 이 읽기를 보여 줍니다. $b_1 \perp b_2$이면 좌표를 얻으며, 서로 수직인 단위벡터라면 각 값은 내적 $x\cdot b_i$ 그 자체입니다. 기울어진 기저에서는 $x$가 0일 때를 제외하면 언제나 틀립니다.

한 직선 위의 두 벡터는 기저가 아닙니다. 이때 $\det P = 0$이고 격자는 그 직선으로 접힙니다. 둘 다 영벡터라면 O만 남습니다. $x$가 접힌 격자에 속하면 읽는 방법이 무한히 많습니다. $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$이고 $x = (3, 3)$이면 $c_1 + 2c_2 = 3$를 만족하는 모든 $(c_1, c_2)$가 가능합니다. $x$가 그 밖에 있으면 읽는 방법이 없습니다.