Base et coordonnées

Une base du plan est une paire ordonnée de vecteurs $b_1, b_2$ non colinéaires. Tout vecteur $x$ s’écrit alors d’une unique façon $x = c_1b_1 + c_2b_2$. Les nombres $c_1, c_2$ sont les coordonnées de $x$ dans la base $B = (b_1, b_2)$, notées $[x]_B$.

À gauche, la grille standard montre $b_1$ et $b_2$ comme des flèches sombres, la grille oblique qu’ils forment et $x$ en bleu. À droite, dans le repère B, $b_1$ et $b_2$ sont les côtés du carré unité et $x$ se place à ses coordonnées. Faites glisser $b_1$ ou $b_2$ : à gauche, $x$ reste immobile. Seules la grille et les valeurs changent, car les coordonnées sont une lecture faite avec une règle, pas une propriété de la flèche.

Pour lire les coordonnées, ramenez $x$ sur chaque axe de $B$ parallèlement à l’autre vecteur de base. Parallèlement à $b_2$, on atteint l’axe $b_1$ en $c_1b_1$ ; parallèlement à $b_1$, on atteint l’axe $b_2$ en $c_2b_2$. Ce sont les deux segments jaunes. Avec les pointillés issus de $x$, ils forment un parallélogramme dont $x$ est la diagonale. Comme $b_1$ et $b_2$ ne sont pas colinéaires, chaque déplacement rencontre son axe en un point unique : les coordonnées existent et sont uniques.

Remplacez $b_1$ par $k\,b_1$, avec $k \ne 0$, et gardez $b_2$ fixe. Puisque $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, la première coordonnée devient $c_1/k$ et la seconde ne change pas : une règle deux fois plus longue donne une lecture deux fois plus petite. Une rotation d’un vecteur de base ne suit pas cette règle et peut changer les deux coordonnées.

Placez $b_1$ et $b_2$ côte à côte comme colonnes d’une matrice $P$. Alors $x = c_1b_1 + c_2b_2$ signifie $x = P\,[x]_B$ : $P$ transforme les coordonnées dans $B$ en coordonnées standard ; dans l’autre sens, il faut $P^{-1}$.

Le repère B montre tout le plan transformé par $P^{-1}$. Cette application envoie $b_1$ et $b_2$ sur $(1, 0)$ et $(0, 1)$ : la grille de $B$ y est carrée, tandis que notre grille standard peut devenir oblique. Les vecteurs de la base standard $\hat\imath$ et $\hat\jmath$ arrivent sur les colonnes de $P^{-1}$. Le dessin utilise les coordonnées de B. Toutes les longueurs et tous les angles ne sont conservés que si $b_1$ et $b_2$ sont des vecteurs unitaires perpendiculaires.

Un raccourci tentant consiste à abaisser les perpendiculaires de $x$ aux droites de $b_1$ et $b_2$, puis à lire les positions de leurs pieds. L’option Pieds des perpendiculaires affiche cette lecture. Elle donne les coordonnées lorsque $b_1 \perp b_2$ ; pour des vecteurs unitaires perpendiculaires, chaque valeur est simplement le produit scalaire $x\cdot b_i$. Dans une base oblique, cette lecture est fausse pour tout $x$ sauf 0.

Deux vecteurs colinéaires ne forment pas une base. Alors $\det P = 0$ et la grille s’écrase sur leur droite, ou sur O si les deux vecteurs sont nuls. Si $x$ appartient à cette grille effondrée, il admet une infinité de lectures : avec $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ et $x = (3, 3)$, toute paire $(c_1, c_2)$ vérifiant $c_1 + 2c_2 = 3$ convient. Si $x$ est à l’extérieur, il n’en admet aucune.