Les vecteurs propres dans cette visualisation
Une matrice 2 × 2 est une transformation linéaire du plan, qui peut dévier un vecteur de sa propre droite. Un vecteur propre reste sur cette droite : Av = λv, où la valeur propre λ indique de combien v est étiré, raccourci ou inversé. Tout multiple non nul d’un vecteur propre en est un autre, de même λ : c’est donc la droite qui compte.
La figure suit toutes les directions à la fois. Le cercle en pointillés est le cercle unité, l’ellipse est son image par A et chaque petite aiguille du cercle pointe dans la direction où A envoie ce point. Avec la matrice initiale, faites tourner le vecteur témoin rouge v et observez la flèche jaune Av : elle penche d’un côté de la droite de v, puis de l’autre. Av n’est aligné avec v que sur les droites bleues. Ce sont les droites propres, chacune marquée de sa valeur λ.
Pourquoi les valeurs propres sont-elles les racines de det(A − λI) ? Réécrivons Av = λv sous la forme (A − λI)v = 0. Un vecteur v non nul ne peut satisfaire cette équation que si A − λI écrase le plan et envoie toute une droite sur l’origine, ce qui se produit exactement lorsque son déterminant est nul. La fenêtre A − λI trace la courbe p(λ) = det(A − λI). Faites glisser λ sur une racine : l’image du carré unité s’écrase sur une droite, ou sur l’origine si A = λI. Les vecteurs non nuls envoyés sur l’origine sont les vecteurs propres associés à ce λ.
Deux vecteurs propres indépendants e₁ et e₂ forment une base dans laquelle A agit seulement par multiplication, d’un facteur λ₁ selon e₁ et λ₂ selon e₂ : sa matrice est donc diagonale dans ces coordonnées. L’option Base propre dessine une maille de cette base et son image, avec des sommets repérés en e₁ et e₂, et non en x et y. Certaines matrices n’admettent pas une telle base. p(λ) est un polynôme du second degré qui peut n’avoir aucune racine réelle, comme pour Tourner de 90°, qui dévie toutes les directions. Il peut aussi avoir une racine double, comme pour Cisailler, qui ne conserve qu’une seule droite.
L’option Appliquer en boucle multiplie v par A de façon répétée et marque les directions de v, Av, A²v, etc. Lorsque les valeurs propres sont réelles et de valeurs absolues différentes, chaque étape multiplie les deux composantes propres de v par ces valeurs. La composante associée à la plus grande valeur absolue finit donc par dominer. Les directions se rapprochent de sa droite, sauf si v part de l’autre droite. La méthode de la puissance trouve un vecteur propre de cette façon. Pour Échanger, dont les valeurs propres sont 1 et −1, un vecteur situé hors des deux droites alterne indéfiniment entre deux directions.
À remarquer
- La projection v·Av affichée ne suffit pas à déterminer si v est un vecteur propre. Av n’est un multiple de v que sur une droite propre ; c’est seulement là que la page écrit Av = λv.
- Les points d’une exécution sont sur le cercle parce que seules les directions sont représentées. Les vecteurs eux-mêmes peuvent grandir ou rétrécir ; pendant l’exécution, la ligne d’état indique le facteur de longueur à chaque étape.
- Lorsque λ est une racine et que A ≠ λI, la droite jaune en pointillés est l’image du plan par A − λI. La droite propre associée à λ, celle qui est envoyée sur l’origine, est la droite bleue plus épaisse. Pour une racine double, les deux peuvent coïncider.
Commandes
- Lorsque v et l’extrémité d’une colonne se superposent, un appui sélectionne v. Cliquez une fois sans faire glisser : l’appui suivant sélectionnera l’autre.
- Dans la fenêtre A − λI, appuyez n’importe où sur l’axe pour y placer λ. λ s’accroche aux racines et aux nombres entiers.