Le déterminant dans cette visualisation
Une matrice 2 × 2 A = (a b; c d) est une application linéaire du plan. Elle envoie î et ĵ sur ses colonnes a₁ = (a, c) et a₂ = (b, d) ; le carré unité devient donc le parallélogramme de côtés a₁ et a₂. Le déterminant de A est l’aire algébrique de ce parallélogramme.
La figure montre le plan avant et après A : le quadrillage standard en traits pâles pointillés, le quadrillage produit par A en traits foncés, et l’image du carré unité sous la forme d’un parallélogramme jaune. Le petit arc jaune près de l’origine va de a₁ vers a₂ par le chemin le plus court. Le drapeau accompagne la transformation : en pointillés à sa position initiale, en traits pleins à son image par A.
Le déterminant ne concerne pas seulement le carré unité. Chaque carré du quadrillage devient une copie du même parallélogramme ; une région composée de carrés du quadrillage voit donc son aire multipliée par |det A|. Un quadrillage plus fin fonctionne de la même façon. Ses petits carrés permettent d’approcher aussi précisément que l’on veut des formes comme un disque ; leurs aires sont donc elles aussi multipliées par |det A|. Avec Cercle sélectionné, le disque unité d’aire π devient une ellipse d’aire |det A|·π, ou un segment ou un point lorsque det A = 0.
Le signe indique si l’orientation du plan est renversée. Si la rotation la plus courte de a₁ vers a₂ se fait dans le sens antihoraire, comme de î vers ĵ, A conserve l’orientation du plan et det A > 0. Si elle se fait dans le sens horaire, A renverse l’orientation du plan : le drapeau pointe dans l’autre sens, le remplissage jaune devient hachuré, et det A < 0. Le déterminant varie continûment avec les coefficients ; il ne peut donc pas sauter du positif au négatif. Faites passer a₂ de l’autre côté de la droite portée par a₁ : le parallélogramme s’aplatit d’abord en un segment, où det A = 0, avant de se retourner.
Lorsque det A = 0, les colonnes sont sur une même droite et A écrase le plan entier sur celle-ci, ou sur le seul point O si A est la matrice nulle. Des points distincts arrivent alors au même endroit ; rien ne permet de retrouver leur position initiale, et A n’a donc pas d’inverse.
Pourquoi ad − bc ? Activez Construction par cisaillement et faites glisser. Un cisaillement fait glisser un côté du parallélogramme le long de la droite portée par l’autre. La base et la hauteur restent les mêmes, donc l’aire aussi. Lorsque det A ≠ 0 et que |a| est supérieur ou égal à |c|, on fait d’abord glisser a₂ parallèlement à a₁ jusqu’à la verticale, en (0, h), avec h = d − bc/a. Puis on fait glisser a₁ parallèlement à ce côté vertical jusqu’à l’axe des x, en (a, 0). On obtient un rectangle de côtés |a| et |h|, dont l’aire algébrique vaut a·h = ad − bc. Lorsque |c| est supérieur à |a|, la page construit le rectangle dans l’autre sens, avec la même aire algébrique. Si det A = 0, le parallélogramme est aplati et aucun rectangle ne peut être construit.
Ajouter à une colonne un multiple de l’autre est précisément un tel cisaillement ; cela ne change donc jamais le déterminant.
À remarquer
- Lorsque Construction par cisaillement est activéeee, A ne change pas. La copie que l’on déplace est jaune, tandis que le parallélogramme de A reste visible sous forme d’un contour pâle en pointillés.
- Lorsque det A = 0 mais que A n’est pas nulle, la droite en trait plein est l’image du plan entier, et la droite en pointillés est l’ensemble des points envoyés sur O. Il peut s’agir de la même droite, comme pour A = (1 −1; 1 −1).