Produit vectoriel

Le produit vectoriel de deux vecteurs a et b de l’espace est un vecteur, a × b. Sa longueur est l’aire du parallélogramme qu’ils engendrent ; pour des vecteurs non nuls, celle-ci vaut $|a|\,|b|\sin\theta$, où θ est l’angle entre eux. Lorsque cette aire n’est pas nulle, a × b est perpendiculaire aux deux vecteurs et pointe dans le sens du pouce droit lorsque les doigts s’enroulent de a vers b. Ici, vous pouvez tourner a et b dans une pièce et observer les ombres du parallélogramme sur les parois : elles donnent les trois composantes de a × b.

Projetez le parallélogramme verticalement sur le sol. Son ombre est le parallélogramme engendré par $(a_1, a_2)$ et $(b_1, b_2)$, et son aire algébrique est le déterminant 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$, qui est la troisième composante. Le signe est + lorsque le passage de l’ombre de a à celle de b se fait dans le sens antihoraire vu d’en haut. Les deux murs fonctionnent de la même façon, chacun observé du côté vers lequel pointe son axe : l’ombre sur le mur yz donne la première composante, celle sur le mur zx la deuxième. Une ombre d’aire algébrique négative est orientée dans le sens horaire ; la page la hachure.

Pourquoi les ombres forment-elles un vecteur perpendiculaire au parallélogramme ? Prenons un parallélogramme d’aire non nulle. Appelons son aire A et notons n le vecteur unitaire qui lui est perpendiculaire, dans le sens choisi par la règle de la main droite. Vu d’une paroi de normale unitaire m, le parallélogramme est comprimé dans une seule direction, d’un facteur $|n\cdot m|$. Son ombre sur cette paroi a donc pour aire algébrique $A\,(n\cdot m)$. Ombre sur une paroi représente cette vue avec les valeurs actuelles. Les normales aux trois parois sont les trois axes ; réunies, les trois ombres donnent donc

C’est un vecteur dirigé selon n, de longueur A. La formule en coordonnées et la description géométrique disent la même chose.

Inverser l’ordre parcourt chaque ombre dans le sens opposé ; ainsi, b × a = −(a × b) : le produit vectoriel n’est pas commutatif. Lorsque a et b sont parallèles, ou que l’un des deux est nul, le parallélogramme se réduit à un segment ou à un point, toutes les ombres ont une aire nulle et a × b = 0. Lorsque l’aire n’est pas nulle, De face regarde dans la direction de a × b, ce qui montre la vraie forme du parallélogramme ; Par la tranche regarde dans le plan du parallélogramme, qui devient une ligne perpendiculaire à a × b.

La main droite est une convention adaptée aux axes directs de la pièce : le passage de x à y se fait dans le sens antihoraire lorsqu’on regarde depuis +z.