Hasil kali silang

Hasil kali silang dua vektor a dan b dalam ruang adalah sebuah vektor, a × b. Panjangnya adalah luas jajargenjang yang direntang oleh keduanya; untuk vektor tak nol, luas itu adalah $|a|\,|b|\sin\theta$, dengan θ sudut di antara keduanya. Ketika luasnya bukan 0, a × b tegak lurus terhadap kedua vektor dan mengarah sesuai ibu jari kanan saat jari-jari lain melengkung dari a menuju b. Di sini Anda dapat memutar a dan b dalam ruangan dan melihat bayangan jajargenjang pada dinding, yang luas bertandanya ternyata memberi ketiga komponen a × b.

Proyeksikan jajargenjang tegak lurus ke bawah pada lantai. Bayangannya adalah jajargenjang yang direntang oleh $(a_1, a_2)$ dan $(b_1, b_2)$, dan luas bertandanya adalah determinan 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$, yaitu komponen ketiga. Tandanya + jika putaran dari bayangan a menuju bayangan b berlawanan arah jarum jam saat dilihat dari atas. Kedua dinding bekerja dengan cara yang sama, masing-masing dilihat dari sisi yang ditunjuk sumbunya: bayangan pada dinding yz memberi komponen pertama, sedangkan pada dinding zx memberi komponen kedua. Bayangan dengan luas negatif ditelusuri searah jarum jam dan diberi arsiran.

Mengapa bayangan-bayangan itu membentuk vektor yang tegak lurus terhadap jajargenjang? Ambil jajargenjang dengan luas tak nol. Sebut luasnya A dan misalkan n adalah vektor satuan yang tegak lurus terhadapnya, menuju sisi yang dipilih aturan tangan kanan. Dilihat dari dinding dengan vektor normal satuan m, jajargenjang dimampatkan hanya dalam satu arah dengan faktor $|n\cdot m|$. Jadi bayangannya pada dinding itu memiliki luas bertanda $A\,(n\cdot m)$. Bayangan pada satu dinding menggambarkan tampilan ini dengan angka saat ini. Normal ketiga dinding searah dengan tiga sumbu, sehingga ketiga bayangan bersama-sama menjadi

Ini adalah vektor searah n dengan panjang A. Rumus koordinat dan penjelasan geometris menyatakan hal yang sama.

Menukar urutan membalik arah penelusuran setiap bayangan, sehingga b × a = −(a × b): hasil kali silang tidak komutatif. Saat a dan b sejajar, atau salah satunya nol, jajargenjang menyusut menjadi ruas garis atau titik. Setiap bayangan memiliki luas 0, dan a × b = 0. Jika luasnya bukan 0, Dari depan melihat lurus sepanjang a × b sehingga bentuk asli jajargenjang terlihat. Dari tepi melihat sepanjang bidang jajargenjang, yang tampak sebagai garis tegak lurus terhadap a × b.

Tangan kanan adalah kesepakatan yang sesuai dengan sumbu ruangan yang berorientasi tangan kanan: putaran dari x ke y berlawanan arah jarum jam jika dilihat dari +z.