Векторное произведение

Векторное произведение двух векторов a и b в пространстве — вектор a × b. Его длина равна площади построенного на них параллелограмма, которая для ненулевых векторов равна $|a|\,|b|\sin\theta$, где θ — угол между ними. Когда площадь не равна 0, a × b перпендикулярен обоим векторам и направлен вдоль большого пальца правой руки, если остальные пальцы согнуть от a к b. Здесь можно поворачивать a и b в комнате и наблюдать тени параллелограмма на стенах: они и дают три компоненты a × b.

Спроецируем параллелограмм строго вниз на пол. Его тень — параллелограмм на векторах $(a_1, a_2)$ и $(b_1, b_2)$, а ориентированная площадь равна определителю 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$ — третьей компоненте. Знак положителен, когда поворот от тени a к тени b направлен против часовой стрелки при взгляде сверху. Для двух стен всё так же, если смотреть на каждую со стороны, куда направлена её ось: тень на стене yz даёт первую компоненту, на стене zx — вторую. Тень с отрицательной ориентированной площадью обходится по часовой стрелке; страница выделяет её штриховкой.

Почему из теней получается вектор, перпендикулярный параллелограмму? Возьмём параллелограмм ненулевой площади. Обозначим его площадь A, а через n — единичный перпендикулярный ему вектор, направленный по правилу правой руки. При проекции на стену с единичной нормалью m параллелограмм сжимается лишь в одном направлении с коэффициентом $|n\cdot m|$. Поэтому ориентированная площадь его тени на этой стене равна $A\,(n\cdot m)$. Окно Тень на одной плоскости показывает этот вид с текущими числами. Нормали трёх плоскостей направлены вдоль трёх осей, поэтому три тени вместе дают

Это вектор вдоль n длины A. Координатная формула и геометрическое описание выражают одно и то же.

При смене порядка каждая тень обходится в обратную сторону, поэтому b × a = −(a × b): векторное произведение некоммутативно. Если a и b параллельны или один из них нулевой, параллелограмм вырождается в отрезок или точку, площадь каждой тени равна 0 и a × b = 0. При ненулевой площади вид Анфас направлен вдоль a × b и показывает истинную форму параллелограмма. Вид С ребра направлен вдоль параллелограмма, который превращается в линию, перпендикулярную a × b.

Правило правой руки — соглашение, согласованное с правой системой координат комнаты: при взгляде со стороны +z поворот от x к y идёт против часовой стрелки.