Prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale di due vettori a e b nello spazio è un vettore, a × b. La sua lunghezza è l’area del parallelogramma che generano, che per vettori non nulli vale $|a|\,|b|\sin\theta$, dove θ è l’angolo fra essi. Quando quest’area non è 0, a × b è perpendicolare a entrambi e punta nel verso del pollice destro quando le dita si curvano da a verso b. Qui puoi ruotare a e b in una stanza e vedere le ombre del parallelogramma sulle superfici: sono proprio le tre componenti di a × b.

Proietta il parallelogramma verticalmente sul pavimento. La sua ombra è il parallelogramma generato da $(a_1, a_2)$ e $(b_1, b_2)$ e la sua area con segno è il determinante 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$, cioè la terza componente. Il segno è + quando il passaggio dall’ombra di a a quella di b è antiorario visto dall’alto. Le due pareti funzionano allo stesso modo, ciascuna vista dal lato verso cui punta il proprio asse: l’ombra sulla parete yz dà la prima componente, quella sulla parete zx la seconda. Un’ombra con area negativa gira in senso orario e viene tratteggiata.

Perché le ombre formano un vettore perpendicolare al parallelogramma? Prendiamo un parallelogramma di area non nulla. Chiamiamo A la sua area e n il vettore unitario perpendicolare a esso, nel verso scelto dalla regola della mano destra. Visto da una superficie con normale unitaria m, il parallelogramma viene compresso in una sola direzione, del fattore $|n\cdot m|$. La sua ombra su quella superficie ha quindi area con segno $A\,(n\cdot m)$. Ombra su una superficie mostra questa vista con i numeri attuali. Le normali alle tre superfici sono i tre assi, quindi le tre ombre insieme danno

Questo è un vettore lungo n, di lunghezza A. La formula in coordinate e la descrizione geometrica esprimono la stessa cosa.

Invertire l’ordine percorre ogni ombra nel verso opposto, quindi b × a = −(a × b): il prodotto vettoriale non è commutativo. Quando a e b sono paralleli, oppure uno dei due è nullo, il parallelogramma si riduce a un segmento o a un punto, tutte le ombre hanno area 0 e a × b = 0. Quando l’area non è 0, Di fronte guarda nella direzione di a × b, mostrando la vera forma del parallelogramma; Di taglio guarda lungo il piano del parallelogramma, che diventa una linea perpendicolare a a × b.

La mano destra è una convenzione che corrisponde agli assi destrorsi della stanza: il passaggio da x a y è antiorario visto da +z.