Produto vetorial

O produto vetorial de dois vetores a e b no espaço é um vetor, a × b. O seu comprimento é a área do paralelogramo que geram, que para vetores não nulos é $|a|\,|b|\sin\theta$, onde θ é o ângulo entre eles. Quando essa área não é 0, a × b é perpendicular a ambos e aponta no sentido do polegar direito quando os dedos se curvam de a para b. Aqui pode rodar a e b numa divisão e ver as sombras do paralelogramo nas superfícies, que correspondem às três componentes de a × b.

Projete o paralelogramo verticalmente no chão. A sua sombra é o paralelogramo gerado por $(a_1, a_2)$ e $(b_1, b_2)$, e a sua área com sinal é o determinante 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$, a terceira componente. O sinal é + quando a rotação da sombra de a para a sombra de b é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio vista de cima. As duas paredes funcionam da mesma forma, cada uma vista do lado para onde aponta o seu eixo: a sombra na parede yz dá a primeira componente e a sombra na parede zx, a segunda. Uma sombra com área negativa roda no sentido dos ponteiros do relógio e aparece hachurada.

Por que razão as sombras formam um vetor perpendicular ao paralelogramo? Considere um paralelogramo de área não nula. Chame A à sua área e n ao vetor unitário perpendicular a ele, no sentido escolhido pela regra da mão direita. Visto de uma superfície com normal unitária m, o paralelogramo é comprimido numa só direção, pelo fator $|n\cdot m|$. Por isso, a sua sombra nessa superfície tem área com sinal $A\,(n\cdot m)$. Sombra numa superfície mostra esta vista com os números atuais. As normais às três superfícies são os três eixos, pelo que as três sombras, em conjunto, dão

Este é um vetor na direção de n, com comprimento A. A fórmula em coordenadas e a descrição geométrica exprimem a mesma coisa.

Trocar a ordem percorre cada sombra no sentido contrário, pelo que b × a = −(a × b): o produto vetorial não é comutativo. Quando a e b são paralelos, ou um deles é nulo, o paralelogramo reduz-se a um segmento ou a um ponto, todas as sombras têm área 0 e a × b = 0. Quando a área não é 0, De frente olha na direção de a × b, mostrando a verdadeira forma do paralelogramo; De lado olha ao longo do plano do paralelogramo, que se torna uma linha perpendicular a a × b.

A mão direita é uma convenção que corresponde aos eixos orientados pela regra da mão direita da divisão: a rotação de x para y é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio vista de +z.