Producto vectorial

El producto vectorial de dos vectores a y b del espacio es un vector, a × b. Su longitud es el área del paralelogramo que generan, que para vectores no nulos vale $|a|\,|b|\sin\theta$, donde θ es el ángulo entre ellos. Cuando esa área no es 0, a × b es perpendicular a ambos y apunta en el sentido del pulgar derecho cuando los dedos se curvan de a hacia b. Aquí puedes girar a y b en una habitación y ver las sombras del paralelogramo en sus planos, que resultan ser las tres componentes de a × b.

Proyecta el paralelogramo verticalmente sobre el suelo. Su sombra es el paralelogramo generado por $(a_1, a_2)$ y $(b_1, b_2)$, y su área con signo es el determinante 2 × 2 $a_1 b_2 - a_2 b_1$, la tercera componente. El signo es + cuando el giro de la sombra de a a la sombra de b es antihorario visto desde arriba. Las dos paredes funcionan igual, cada una vista desde el lado hacia el que apunta su eje: la sombra en la pared yz da la primera componente y la sombra en la pared zx, la segunda. Una sombra con área negativa gira en sentido horario y se muestra rayada.

¿Por qué las sombras forman un vector perpendicular al paralelogramo? Tomemos un paralelogramo de área no nula. Llamemos A a su área y n al vector unitario perpendicular a él, orientado según la regla de la mano derecha. Visto desde un plano con normal unitaria m, el paralelogramo se comprime en una sola dirección, por el factor $|n\cdot m|$. Por tanto, su sombra en ese plano tiene área con signo $A\,(n\cdot m)$. Sombra sobre un plano muestra esta vista con los números actuales. Las normales de los tres planos son los tres ejes, así que las tres sombras juntas dan

Este es un vector en la dirección de n y de longitud A. La fórmula en coordenadas y la descripción geométrica expresan lo mismo.

Invertir el orden recorre cada sombra en sentido contrario, así que b × a = −(a × b): el producto vectorial no es conmutativo. Cuando a y b son paralelos, o uno de ellos es nulo, el paralelogramo se reduce a un segmento o un punto, todas las sombras tienen área 0 y a × b = 0. Cuando el área no es 0, De frente mira en la dirección de a × b, donde el paralelogramo muestra su forma real; De canto mira a lo largo del plano del paralelogramo, que se ve como una línea perpendicular a a × b.

La mano derecha es una convención que coincide con los ejes dextrógiros de la habitación, en los que el giro de x a y es antihorario visto desde +z.