الضرب الاتجاهي: تصور تفاعلي

الضرب الاتجاهي في هذا التصور

الضرب الاتجاهي لمتجهين ⁦a⁩ و⁦b⁩ في الفضاء هو المتجه ⁦a × b⁩. طوله هو مساحة متوازي الأضلاع الذي يولّدانه، وتساوي للمتجهين غير الصفريين ⁦ $|a|\,|b|\sin\theta$ ⁩، حيث ⁦θ⁩ الزاوية بينهما. عندما لا تكون المساحة 0، يكون ⁦a × b⁩ عموديًا عليهما ويتجه مع إبهام اليد اليمنى عندما تلتف الأصابع من ⁦a⁩ نحو ⁦b⁩. هنا يمكنك تدوير ⁦a⁩ و⁦b⁩ في غرفة ورؤية ظلال متوازي الأضلاع على الجدران، التي تعطينا مركبات ⁦a × b⁩ الثلاث.

الضرب الاتجاهي بالإحداثيات، وطوله

a \times b = (a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1), \qquad |a \times b| = |a|\,|b|\sin\theta

أسقط متوازي الأضلاع رأسيًا على الأرضية. ظلّه هو متوازي الأضلاع الذي يولّده ⁦ $(a_1, a_2)$ ⁩ و⁦ $(b_1, b_2)$ ⁩، ومساحته مع الإشارة هي المحدّد من الرتبة ⁦2 × 2⁩، ⁦ $a_1 b_2 - a_2 b_1$ ⁩، أي المركبة الثالثة. تكون الإشارة موجبة عندما يكون الدوران من ظل ⁦a⁩ إلى ظل ⁦b⁩ عكس عقارب الساعة عند النظر من أعلى. وينطبق الأمر نفسه على الجدارين، بالنظر إلى كل منهما من الجهة التي يشير إليها محوره: ظل جدار ⁦yz⁩ يعطي المركبة الأولى، وظل جدار ⁦zx⁩ يعطي الثانية. يدور الظل ذو المساحة الموجّهة السالبة مع عقارب الساعة، وتُظهره الصفحة مهشّرًا.

لماذا تكوّن الظلال متجهًا عموديًا على متوازي الأضلاع؟ خذ متوازي أضلاع مساحته غير صفرية. سمِّ مساحته ⁦A⁩، وليكن ⁦n⁩ متجه الوحدة العمودي عليه، في الجهة التي تحددها قاعدة اليد اليمنى. عند إسقاطه على جدار له متجه عمودي وحدي ⁦m⁩، ينضغط متوازي الأضلاع في اتجاه واحد فقط بالعامل ⁦ $|n\cdot m|$ ⁩. لذا تكون مساحة ظلّه الموجّهة على ذلك الجدار ⁦ $A\,(n\cdot m)$ ⁩. تعرض نافذة الظل على مستوى واحد هذا المنظر بالأعداد الحالية. تتجه المتجهات العمودية على المستويات الثلاثة في اتجاهات المحاور الثلاثة، لذا تعطي الظلال مجتمعةً

مساحات الظلال الثلاثة الموجّهة، في متجه واحد

(A\,n_1,\; A\,n_2,\; A\,n_3) = A\,n = a \times b

هذا متجه في اتجاه ⁦n⁩ وطوله ⁦A⁩. صيغة الإحداثيات والوصف الهندسي هما التعبير عن الشيء نفسه.

تبديل الترتيب يعكس اتجاه تتبّع كل ظل، لذا ⁦b × a = −(a × b)⁩: الضرب الاتجاهي غير تبادلي. عندما يتوازى ⁦a⁩ و⁦b⁩، أو يكون أحدهما صفريًا، ينكمش متوازي الأضلاع إلى قطعة مستقيمة أو نقطة، وتكون مساحة كل ظل 0، و⁦a × b = 0⁩. عندما لا تكون المساحة 0، ينظر خيار مواجهة اللوح مباشرة في اتجاه ⁦a × b⁩، فيظهر الشكل الحقيقي لمتوازي الأضلاع. أما خيار من الحافة فينظر بمحاذاة متوازي الأضلاع، فيبدو خطًا عموديًا على ⁦a × b⁩.

قاعدة اليد اليمنى اصطلاح يوافق محاور الغرفة اليمينية، حيث يكون الدوران من ⁦x⁩ إلى ⁦y⁩ عكس عقارب الساعة عند النظر من جهة ⁦+z⁩.

ما يجدر ملاحظته

تبديل الترتيب يُبقي متوازي الأضلاع وظلاله في مواضعها. تتغيّر فقط اتجاهات الدوران والتهشير والسهم.
الظلال مرتبطة بالجدران، لا بالكاميرا. عند النظر من خلف جدار، يبدو الظل الذي يدور عكس عقارب الساعة وكأنه يدور معها على الشاشة، لكن إشارته تُقرأ من الجهة التي يشير إليها محور ذلك الجدار.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Cross product (الإنجليزية); OpenStax, Calculus Volume 3, 2.4 The Cross Product (الإنجليزية).