外積

空間中兩向量a與b的外積是一個向量a × b。它的長度等於兩者張成的平行四邊形面積；對非零向量而言，此面積為$|a|\,|b|\sin\theta$，θ是兩者的夾角。面積不為0時，a × b同時垂直於兩向量，方向則是在右手四指由a彎向b時，拇指所指的方向。這裡可以在房間中轉動a與b，觀察平行四邊形投在牆上的影子，而這些影子的有向面積正是a × b的三個分量。

將平行四邊形垂直投影到地板。影子是由$(a_1, a_2)$與$(b_1, b_2)$張成的平行四邊形，其有向面積為2 × 2行列式$a_1 b_2 - a_2 b_1$，也就是第三個分量。從上方看，若從a的影子轉向b的影子是逆時針，符號就是+。兩面牆也一樣，分別從其座標軸所指的一側看：yz牆上的影子給出第一個分量，zx牆上的影子給出第二個分量。有向面積為負的影子沿順時針繞行，頁面會以斜線標示。

為什麼這些影子會組成垂直於平行四邊形的向量？取一個面積不為零的平行四邊形，稱其面積為A，令n為垂直於它、指向右手定則所選一側的單位向量。從單位法向量為m的牆面看，平行四邊形只在一個方向上被壓縮，倍率為$|n\cdot m|$，因此在該牆面上的影子有向面積為$A\,(n\cdot m)$。一面牆上的影子會以目前的數值畫出這個視圖。三面牆的法向量就是三個座標軸方向，因此三個影子合起來是

這是一個沿n方向、長度為A的向量。座標公式與幾何描述說的是同一件事。

交換順序會讓每個影子沿反方向繞行，因此b × a = −(a × b)：外積不滿足交換律。a與b平行，或其中之一為零向量時，平行四邊形會退化成線段或一點，每個影子的面積都為0，且a × b = 0。面積不為0時，正對板會沿著a × b觀看，平行四邊形呈現原本的形狀；側看板則沿著平行四邊形所在平面觀看，使它呈現為一條垂直於a × b的線。

右手是與房間的右手座標系相符的約定：從+z方向看，由x轉向y為逆時針。