외적

공간의 두 벡터 a와 b의 외적은 벡터 a × b입니다. 그 길이는 두 벡터가 만드는 평행사변형의 넓이입니다. 두 벡터 모두 영벡터가 아니면 넓이는 $|a|\,|b|\sin\theta$이며, θ는 두 벡터의 사이각입니다. 넓이가 0이 아닐 때 a × b는 두 벡터 모두에 수직이고, 오른손 손가락을 a에서 b로 감았을 때 엄지가 가리키는 방향을 향합니다. 여기서는 방 안에서 a와 b를 돌리며 벽에 비친 평행사변형의 그림자를 볼 수 있습니다. 이 그림자의 부호 있는 넓이가 a × b의 세 성분이 됩니다.

평행사변형을 바닥으로 수직 투영해 봅시다. 그림자는 두 벡터 $(a_1, a_2)$, $(b_1, b_2)$로 이루어진 평행사변형이며, 부호 있는 넓이는 2 × 2 행렬식 $a_1 b_2 - a_2 b_1$입니다. 이것이 세 번째 성분입니다. 위에서 보았을 때 a의 그림자에서 b의 그림자로 도는 방향이 반시계 방향이면 부호는 +입니다. 두 벽에서도 마찬가지로 각각 해당 축의 양의 방향 쪽에서 봅니다. yz면의 그림자는 첫 번째 성분, zx면의 그림자는 두 번째 성분을 줍니다. 부호 있는 넓이가 음수인 그림자는 시계 방향으로 돌며, 페이지에서는 빗금으로 표시합니다.

그림자의 넓이를 나란히 쓰면 왜 평행사변형에 수직인 벡터가 될까요? 넓이가 0이 아닌 평행사변형을 생각해 봅시다. 넓이를 A라 하고, 오른손 법칙이 정하는 쪽을 향하는 단위 법선벡터를 n이라 합시다. 단위 법선벡터가 m인 벽에서 보면 평행사변형은 한 방향으로만 $|n\cdot m|$배로 줄어듭니다. 따라서 그 벽에 비친 그림자의 부호 있는 넓이는 $A\,(n\cdot m)$입니다. 한 면에 비친 그림자는 현재 수치로 이 모습을 그려 줍니다. 세 면의 법선은 세 좌표축 방향이므로, 세 그림자의 부호 있는 넓이를 나란히 쓰면 다음과 같습니다.

이것은 n 방향이고 길이가 A인 벡터입니다. 좌표 공식과 기하학적 설명은 같은 것을 나타냅니다.

순서를 바꾸면 모든 그림자를 따라 도는 방향이 반대가 되므로 b × a = −(a × b)입니다. 외적에는 교환법칙이 성립하지 않습니다. a와 b가 평행하거나 둘 중 하나가 영벡터이면 평행사변형은 선분이나 점으로 납작해지고, 모든 그림자의 넓이는 0이 되어 a × b = 0입니다. 넓이가 0이 아닐 때 정면에서는 a × b와 나란한 방향에서 바라보므로 평행사변형의 실제 모양이 보입니다. 옆면에서는 평행사변형이 놓인 평면을 따라 바라보므로 a × b에 수직인 선으로 보입니다.

오른손을 사용하는 것은 방의 오른손 좌표계에 맞춘 약속입니다. 이 좌표계에서는 +z 쪽에서 보았을 때 x에서 y로의 회전이 반시계 방향입니다.