행렬식

2 × 2 행렬 A = (a b; c d)는 평면의 선형사상입니다. î와 ĵ를 각각 열 a₁ = (a, c)와 a₂ = (b, d)로 보내므로 단위 정사각형은 a₁과 a₂를 변으로 하는 평행사변형이 됩니다. A의 행렬식은 이 평행사변형의 부호 있는 넓이입니다.

그림은 A를 적용하기 전후의 평면을 보여 줍니다. 표준 격자는 옅은 점선이고, A로 변환한 격자는 짙은 선이며, 단위 정사각형의 상은 노란색 평행사변형입니다. 원점 근처의 작은 노란 호는 a₁에서 a₂로 향하는 짧은 쪽 회전을 표시합니다. 깃발은 함께 이동하는 도형으로, 원래 위치는 점선이고 A에 의한 도착점은 실선입니다.

행렬식은 단위 정사각형에만 해당하는 것이 아닙니다. 격자의 각 정사각형은 모두 같은 평행사변형으로 바뀌므로, 격자의 정사각형들로 이루어진 영역은 넓이가 |det A|배가 됩니다. 더 촘촘한 격자에서도 마찬가지입니다. 원판 같은 도형도 작은 정사각형들로 점점 더 빈틈없이 채울 수 있으므로 넓이가 |det A|배가 됩니다. 원을 선택하면 넓이가 π인 단위원판은 넓이가 |det A|·π인 타원이 됩니다. det A = 0일 때는 선분이나 점이 됩니다.

부호는 평면의 방향이 뒤집히는지를 알려 줍니다. a₁에서 a₂로의 짧은 쪽 회전이 î에서 ĵ로의 회전처럼 반시계 방향이면 A는 평면의 방향을 유지하고 det A > 0입니다. 시계 방향이면 A는 평면의 방향을 뒤집습니다. 깃발이 반대쪽을 향하고, 노란색 채우기는 빗금으로 바뀌며, det A < 0입니다. 행렬식은 성분에 따라 연속적으로 변하므로 양수에서 음수로 건너뛸 수 없습니다. a₂를 a₁이 놓인 직선 너머로 드래그하면 평행사변형은 먼저 선분으로 납작해져 det A = 0이 되고, 그다음 뒤집힙니다.

det A = 0이면 두 열은 한 직선 위에 있고, A는 평면 전체를 그 직선으로 납작하게 만듭니다. A가 영행렬이면 한 점 O로 모읍니다. 서로 다른 점들이 같은 곳에 도착하여 이를 되돌릴 수 없으므로 A에는 역행렬이 없습니다.

왜 ad − bc일까요? 전단 작도를 켜고 밀어 보세요. 전단은 평행사변형의 한 변을 다른 변의 방향으로 미끄러뜨리는 변환입니다. 밑변과 높이가 그대로이므로 넓이도 유지됩니다. det A ≠ 0이고 |a|가 |c| 이상일 때는 먼저 a₂를 a₁을 따라 밀어 (0, h)에서 수직으로 서게 합니다. 이때 h = d − bc/a입니다. 그런 다음 a₁을 이 수직인 변을 따라 밀어 x축 위의 (a, 0)에 놓습니다. 그 결과 변의 길이가 |a|와 |h|인 직사각형이 되고, 부호 있는 넓이는 a·h = ad − bc입니다. |c|가 |a|보다 크면 다른 방향으로 직사각형을 만들며 부호 있는 넓이는 같습니다. det A = 0이면 평행사변형이 납작해져 직사각형을 만들 수 없습니다.

한 열의 배수를 다른 열에 더하는 것은 바로 이러한 전단이므로 행렬식은 변하지 않습니다.