고유벡터

2 × 2 행렬은 평면의 선형변환이며 벡터를 원래 직선에서 벗어난 방향으로 보낼 수 있습니다. 고유벡터는 그렇게 벗어나지 않는 벡터로, Av = λv를 만족합니다. 고윳값 λ는 v가 얼마나 늘어나거나 줄어드는지, 방향이 반대로 바뀌는지를 나타냅니다. 고유벡터에 0이 아닌 수를 곱하면 같은 λ를 갖는 또 다른 고유벡터가 됩니다. 따라서 중요한 것은 직선입니다.

그림은 모든 방향을 한꺼번에 따라갑니다. 점선 원은 단위원, 타원은 A에 의한 그 상이며, 원 위의 짧은 바늘은 각 점이 A에 의해 옮겨지는 방향을 가리킵니다. 기본 행렬에서 빨간 벡터 v를 돌리며 노란 화살표 Av를 살펴보세요. Av는 v의 직선 한쪽으로 기울었다가 반대쪽으로 기웁니다. 파란 직선 위에서만 Av가 v와 나란합니다. 이 직선들이 고유직선이며 각각의 λ가 표시되어 있습니다.

왜 고윳값은 det(A − λI)의 근일까요? Av = λv를 (A − λI)v = 0으로 고쳐 써 봅시다. 영벡터가 아닌 v가 이를 만족하려면 A − λI가 평면을 눌러 직선 전체를 원점으로 보내야 합니다. 이 일은 행렬식이 0일 때, 그리고 그때만 일어납니다. A − λI 창은 p(λ) = det(A − λI)를 곡선으로 보여 줍니다. λ를 근으로 드래그하면 단위정사각형의 상이 직선으로, A = λI이면 원점으로 눌립니다. 원점으로 옮겨지는 영벡터가 아닌 벡터들이 그 λ에 대응하는 고유벡터입니다.

선형독립인 두 고유벡터 e₁과 e₂는 기저를 이룹니다. 이 기저에서 A는 e₁ 방향의 성분에 λ₁을, e₂ 방향의 성분에 λ₂를 곱하기만 하므로 이 좌표로 나타낸 행렬은 대각행렬입니다. 고유기저는 이 기저의 칸 하나와 그 상을 보여 줍니다. 꼭짓점의 좌표는 x와 y가 아니라 e₁과 e₂를 각각 몇 배씩 쓰는지로 표시합니다. 모든 행렬에 이런 기저가 있는 것은 아닙니다. p(λ)는 이차식이며, 모든 방향을 돌리는 90° 회전처럼 실근이 없을 수도 있습니다. 또 직선 하나만 유지하는 전단처럼 중근을 가질 수도 있습니다.

반복 적용은 v에 A를 거듭 곱하며 v, Av, A²v 등의 방향을 표시합니다. 고윳값이 실수이고 절댓값이 서로 다르면, 단계마다 v의 두 고유방향 성분에 각각의 고윳값이 곱해지므로 고윳값의 절댓값이 큰 성분이 우세해집니다. v가 처음부터 다른 직선 위에 있지 않는 한, 방향은 그 우세한 성분의 직선으로 가까워집니다. 이런 방식으로 고유벡터를 찾는 것이 거듭제곱법입니다. 고윳값이 1과 −1인 맞바꾸기에서는 두 직선 어디에도 놓이지 않은 벡터가 두 방향을 끝없이 오갑니다.