Vector propio

Una matriz 2 × 2 es una transformación lineal del plano, y puede desviar un vector de su propia recta. Un vector propio es uno al que no desvía de ella: Av = λv, donde el valor propio λ indica cuánto se estira o se contrae v, o si cambia de sentido. Todo múltiplo no nulo de un vector propio es otro vector propio con el mismo λ, así que lo que importa es la recta.

La imagen sigue todas las direcciones a la vez. La circunferencia discontinua es la circunferencia unidad; la elipse es su imagen por A, y cada aguja corta de la circunferencia apunta hacia donde A envía ese punto. Con la matriz inicial, gira el vector de prueba rojo v y observa la flecha amarilla Av: se inclina hacia un lado de la recta de v y luego hacia el otro. Solo en las rectas azules Av queda en la dirección de v. Son las rectas propias, cada una etiquetada con su λ.

¿Por qué los valores propios son las raíces de det(A − λI)? Reescribe Av = λv como (A − λI)v = 0. Un v no nulo solo puede satisfacer esto si A − λI aplasta el plano y envía una recta entera al origen, lo que ocurre exactamente cuando su determinante es 0. La ventana A − λI dibuja p(λ) = det(A − λI) como una curva. Arrastra λ hasta una raíz y la imagen del cuadrado unidad se reduce a una recta, o al origen si A = λI. Los vectores no nulos enviados al origen son los vectores propios de ese λ.

Dos vectores propios independientes e₁ y e₂ forman una base en la que A solo multiplica por λ₁ en la dirección de e₁ y por λ₂ en la de e₂. Por eso su matriz en estas coordenadas es diagonal. La opción Base de vectores propios dibuja una celda de esta base y su imagen, con etiquetas en los vértices expresadas en e₁ y e₂, no en x e y. No todas las matrices tienen una base así. p(λ) es un polinomio de segundo grado y puede no tener raíces reales, como en Girar 90°, que gira todas las direcciones. También puede tener una raíz doble, como en Cizallar, que solo conserva una recta.

La opción Aplicar repetidamente multiplica v por A una y otra vez y marca las direcciones de v, Av, A²v, etc. Cuando los valores propios son reales y tienen distintos valores absolutos, cada paso multiplica por ellos las dos componentes propias de v, de modo que acaba dominando la componente cuyo valor propio tiene mayor valor absoluto. Las direcciones convergen hacia su recta, salvo si v empieza en la otra. El método de la potencia encuentra un vector propio de esta manera. En Intercambiar, cuyos valores propios son 1 y −1, un vector que no esté en ninguna de las dos rectas alterna entre dos direcciones indefinidamente.