Multiplicación de matrices

Una matriz 2 × 2 es una aplicación lineal del plano, y sus columnas son las imágenes de $\hat\imath = (1, 0)$ y $\hat\jmath = (0, 1)$. El producto $AB$ es la matriz de aplicar dos transformaciones seguidas, primero $B$ y después $A$: $(AB)x = A(Bx)$ para todo vector $x$. La matriz junto a $x$ actúa primero, así que el producto se lee de derecha a izquierda.

En el orden $AB$, el gráfico izquierdo muestra $B$ sobre la cuadrícula estándar: $\hat\imath$ y $\hat\jmath$ aparecen como flechas tenues discontinuas, y sus imágenes $b_1$ y $b_2$, las columnas de $B$, en azul. El gráfico derecho muestra $A$: la cuadrícula que genera a partir de la estándar, sus columnas $a_1$ y $a_2$ en trazo oscuro, y las columnas del producto, $Ab_1$ y $Ab_2$, en azul. La bandera muestra esos mismos dos pasos sobre una figura. Cada gráfico tiene su propia escala, porque un producto puede extenderse mucho más que sus factores.

¿De dónde sale una columna de $AB$? $B$ lleva $\hat\imath$ a $b_1 = (b_{11}, b_{21})$, que equivale a $b_{11}$ veces $\hat\imath$ y $b_{21}$ veces $\hat\jmath$. Como $A$ es lineal, lleva ese punto a la misma combinación de sus propias columnas: $b_{11}$ veces $a_1$ y después $b_{21}$ veces $a_2$. Solo lee los dos números de $b_1$, sin importar cómo se obtuvo $b_1$. A la derecha, la columna seleccionada del producto se dibuja siguiendo esa receta: dos tramos finos en las direcciones de $a_1$ y $a_2$ que terminan en la flecha azul. Arrastra $b_1$ a la izquierda: los tramos se alargan y acortan con sus componentes.

La regla que se enseña como fila por columna es esa receta escrita en coordenadas. La coordenada x de $Ab_j$ es la suma de las componentes horizontales de los dos tramos, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: la fila 1 de $A$ por la columna $j$ de $B$. La coordenada y se obtiene del mismo modo con la fila 2. Fila × columna dibuja esas componentes sobre los ejes, cada una etiquetada con su producto.

El orden importa porque la segunda transformación actúa sobre lo que produce la primera. Gira un cuarto de vuelta y luego cizalla: $\hat\imath$ pasa a $(0, 1)$ y después a $(1, 1)$. Cizalla primero y luego gira: $\hat\imath$ permanece en $(1, 0)$ y después pasa a $(0, 1)$. Una vez realizada también la composición en el otro orden, su resultado aparece a la derecha como flechas azules discontinuas, hasta que cambie A o B. Algunos pares sí conmutan. Dos giros del plano alrededor del origen suman sus ángulos en cualquiera de los dos órdenes.

Los factores de área se multiplican. $B$ convierte el cuadrado unidad en un paralelogramo de área $|\det B|$, y después $A$ multiplica todas las áreas por $|\det A|$. Teniendo en cuenta los signos, $\det(AB) = \det A\cdot\det B$; y como los números conmutan, $\det(AB) = \det(BA)$ incluso cuando $AB \ne BA$. En la configuración inicial, $\det A = 2$ y $\det B = 3$, así que ambos productos tienen determinante 6.