矩陣乘法

2×2矩陣是平面上的線性變換，它的兩直行就是$\hat\imath = (1, 0)$與$\hat\jmath = (0, 1)$被送到的位置。乘積$AB$代表依序做兩個變換，先$B$、再$A$：對每個向量$x$都有$(AB)x = A(Bx)$。緊鄰$x$的矩陣先作用，所以乘積由右向左讀。

以$AB$的順序來看，左圖呈現$B$作用於標準網格的結果：$\hat\imath$與$\hat\jmath$是淡色虛線箭頭；它們的像$b_1$與$b_2$，也就是$B$的兩直行，以藍色標示。右圖呈現$A$：它將標準網格變成的網格，以及墨色的兩直行$a_1$與$a_2$；乘積的兩直行$Ab_1$與$Ab_2$則是藍色。旗子呈現同樣兩步對一個圖形的作用。乘積可能遠大於各因子，所以兩張圖各有自己的比例尺。

$AB$的一直行從哪裡來？$B$將$\hat\imath$送到$b_1 = (b_{11}, b_{21})$，也就是走$b_{11}$份$\hat\imath$，再走$b_{21}$份$\hat\jmath$。$A$是線性的，因此會把這個點送到自身兩直行按同樣份量組合的位置：先$b_{11}$份$a_1$，再$b_{21}$份$a_2$。它只讀取$b_1$的兩個數值，不管$b_1$是如何形成的。右圖將選取的乘積直行畫成這個組合：沿$a_1$與$a_2$的兩段細向量，終點落在藍色箭頭上。拖曳左圖的$b_1$，兩段向量就隨其數值伸縮。

橫列乘直行規則，就是把這個組合寫成座標。$Ab_j$的x座標是兩段向量水平分量之和$a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$，也就是$A$的第一橫列乘以$B$的第$j$直行。y座標以同樣方式由第二橫列求得。「橫列×直行」會沿座標軸畫出這些分量，並各自標上對應的乘積。

順序很重要，因為第二個變換作用於第一個的結果。先轉四分之一圈再剪切，$\hat\imath$先到$(0, 1)$，再到$(1, 1)$。先剪切再旋轉，$\hat\imath$先留在$(1, 0)$，再到$(0, 1)$。另一種順序也合成過之後，其結果會在右圖以藍色虛線箭頭顯示，直到A或B改變。有些變換確實能交換順序：平面上繞原點的兩次旋轉，不論先後都將角度相加。

面積倍率會相乘。$B$將單位正方形變成面積為$|\det B|$的平行四邊形，$A$再將所有面積乘以$|\det A|$。連同正負號來看，$\det(AB) = \det A\cdot\det B$；由於數的乘法可交換，即使$AB \ne BA$，也仍有$\det(AB) = \det(BA)$。預設矩陣滿足$\det A = 2$與$\det B = 3$，所以兩種乘積的行列式都是6。