Умножение матриц

Матрица 2 × 2 задаёт линейное отображение плоскости, а её столбцы — это образы $\hat\imath = (1, 0)$ и $\hat\jmath = (0, 1)$. Произведение $AB$ — матрица двух последовательных отображений, сначала $B$, затем $A$: $(AB)x = A(Bx)$ для любого вектора $x$. Первой действует матрица, стоящая рядом с $x$, поэтому произведение читают справа налево.

При порядке $AB$ слева показано действие $B$ на стандартной сетке: $\hat\imath$ и $\hat\jmath$ — бледные пунктирные стрелки, а их образы $b_1$ и $b_2$, столбцы $B$, — синие. Справа показано действие $A$: полученная из стандартной сетка, столбцы $a_1$ и $a_2$ чернильным цветом, а также столбцы произведения $Ab_1$ и $Ab_2$ синим. Флажок показывает те же два шага на фигуре. У каждого рисунка свой масштаб: произведение может выходить далеко за пределы множителей.

Откуда берётся столбец $AB$? $B$ переводит $\hat\imath$ в $b_1 = (b_{11}, b_{21})$: это $b_{11}$ шагов вдоль $\hat\imath$ и $b_{21}$ шагов вдоль $\hat\jmath$. Отображение $A$ линейно, поэтому эта точка переходит в результат таких же шагов вдоль его столбцов: $b_{11}$ вдоль $a_1$, затем $b_{21}$ вдоль $a_2$. Ему нужны только два числа из $b_1$, а не способ получения $b_1$. Справа выбранный столбец произведения построен по этому правилу: два тонких звена вдоль $a_1$ и $a_2$ приводят к концу синей стрелки. Перетащите $b_1$ слева: длины звеньев будут меняться вместе с его координатами.

Правило умножения строки на столбец — та же конструкция, записанная в координатах. Координата x вектора $Ab_j$ складывается из горизонтальных составляющих двух звеньев, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: строка 1 матрицы $A$ умножается на столбец $j$ матрицы $B$. Координата y так же получается из строки 2. Режим Строка × столбец показывает эти составляющие вдоль осей, подписывая соответствующее произведение у каждой.

Порядок важен, потому что второе отображение действует на результат первого. Сначала четверть оборота, затем сдвиг: $\hat\imath$ переходит в $(0, 1)$, а затем в $(1, 1)$. Сначала сдвиг, затем поворот: $\hat\imath$ остаётся в $(1, 0)$, а затем переходит в $(0, 1)$. После построения композиции в другом порядке её результат появится справа синими пунктирными стрелками и останется до изменения A или B. Некоторые пары всё же коммутируют. При двух поворотах плоскости вокруг начала координат углы складываются в любом порядке.

Коэффициенты изменения площади перемножаются. $B$ превращает единичный квадрат в параллелограмм площади $|\det B|$, затем $A$ умножает любую площадь на $|\det A|$. С учётом знаков $\det(AB) = \det A\cdot\det B$. Умножение чисел коммутативно, поэтому $\det(AB) = \det(BA)$, даже когда $AB \ne BA$. В исходном примере $\det A = 2$ и $\det B = 3$, поэтому определитель обоих произведений равен 6.