Собственный вектор

Матрица 2 × 2 задаёт линейное преобразование плоскости и может увести вектор с его прямой. Собственный вектор остаётся на своей прямой: Av = λv, где собственное значение λ определяет, насколько v растягивается, сжимается или разворачивается. Любое ненулевое кратное собственного вектора — тоже собственный вектор с тем же λ, поэтому главное — прямая.

Рисунок показывает сразу все направления. Пунктирная окружность — единичная; эллипс — её образ под действием A. Каждая короткая иголка на окружности показывает, куда A переводит соответствующую точку. При исходной матрице поворачивайте красный вектор v и следите за жёлтой стрелкой Av: она отклоняется то в одну, то в другую сторону от прямой v. Только на синих прямых Av лежит вдоль v. Это собственные прямые, у каждой подписано её λ.

Почему собственные значения — корни det(A − λI)? Перепишем Av = λv как (A − λI)v = 0. Ненулевой v удовлетворяет этому равенству только тогда, когда A − λI вырождает плоскость, отправляя целую прямую в начало координат. Это происходит в точности при нулевом определителе. Окно A − λI строит кривую p(λ) = det(A − λI). Перетащите λ на корень: образ единичного квадрата сожмётся в отрезок, а при A = λI — в начало координат. Ненулевые векторы, переходящие в начало координат, — собственные векторы для этого λ.

Два независимых собственных вектора e₁ и e₂ образуют базис, в котором A лишь умножает координаты: вдоль e₁ на λ₁, вдоль e₂ на λ₂. Поэтому в этих координатах матрица диагональна. Режим Собственный базис показывает одну ячейку этого базиса и её образ; вершины подписаны в координатах e₁ и e₂, а не x и y. Такой базис есть не у каждой матрицы. p(λ) — квадратный многочлен, у которого может не быть вещественных корней, как у Поворота на 90°, меняющего каждое направление. Возможен и двойной корень, как у Сдвига, сохраняющего только одну прямую.

Режим Применять повторно снова и снова умножает v на A, отмечая направления v, Av, A²v и так далее. Когда собственные значения вещественны и различаются по модулю, каждый шаг умножает две собственные компоненты v на соответствующие значения. Поэтому преобладает компонента с бо́льшим модулем собственного значения. Направления приближаются к её прямой, если только v изначально не лежит на другой. Так степенной метод находит собственный вектор. При Перестановке с собственными значениями 1 и −1 вектор вне обеих прямых бесконечно чередует два направления.