Autovettore

Una matrice 2 × 2 è una trasformazione lineare del piano e può deviare un vettore dalla sua retta. Un autovettore è un vettore che non viene deviato dalla propria retta: Av = λv, dove l’autovalore λ dice quanto v viene allungato, accorciato o invertito di verso. Ogni multiplo non nullo di un autovettore è un altro autovettore con lo stesso λ, quindi ciò che conta è la retta.

La figura segue tutte le direzioni insieme. La circonferenza tratteggiata è quella unitaria, l’ellisse è la sua immagine tramite A e ogni piccolo ago sulla circonferenza indica la direzione in cui A manda quel punto. Con la matrice iniziale, ruota il vettore di prova rosso v e osserva la freccia gialla Av: si inclina da un lato della retta di v, poi dall’altro. Solo sulle rette blu Av si trova lungo v. Sono le rette proprie, ciascuna contrassegnata dal proprio λ.

Perché gli autovalori sono le radici di det(A − λI)? Riscrivi Av = λv come (A − λI)v = 0. Un v non nullo può soddisfare questa uguaglianza solo se A − λI schiaccia il piano e manda un’intera retta nell’origine, e ciò accade esattamente quando il suo determinante è 0. La finestra A − λI disegna la curva p(λ) = det(A − λI). Trascina λ su una radice e l’immagine del quadrato unitario si riduce a una retta, oppure all’origine se A = λI. I vettori non nulli mandati nell’origine sono gli autovettori per quel λ.

Due autovettori indipendenti e₁ ed e₂ formano una base in cui A si limita a moltiplicare per λ₁ lungo e₁ e per λ₂ lungo e₂, quindi in queste coordinate la sua matrice è diagonale. L’opzione Base di autovettori disegna una cella di questa base e la sua immagine, con etichette ai vertici espresse in e₁ ed e₂, non in x e y. Non tutte le matrici hanno una base di questo tipo. p(λ) è un polinomio di secondo grado e può non avere radici reali, come in Ruota di 90°, che ruota ogni direzione. Può anche avere una radice doppia, come in Scorrimento, che conserva una sola retta.

L’opzione Applica ripetutamente moltiplica v per A più volte e segna le direzioni di v, Av, A²v e così via. Quando gli autovalori sono reali e diversi in valore assoluto, ogni passo moltiplica per essi le due componenti proprie di v, così prevale la componente il cui autovalore ha il valore assoluto maggiore. Le direzioni convergono verso la sua retta, a meno che v non parta dall’altra. Il metodo delle potenze trova un autovettore in questo modo. Con Scambia, i cui autovalori sono 1 e −1, un vettore che non sta su nessuna delle due rette alterna per sempre due direzioni.