Base e coordinate

Una base del piano è una coppia ordinata di vettori $b_1, b_2$ non collineari. Ogni vettore $x$ si può allora scrivere in un unico modo come $x = c_1b_1 + c_2b_2$. I numeri $c_1, c_2$ sono le coordinate di $x$ nella base $B = (b_1, b_2)$, indicate con $[x]_B$.

A sinistra c’è la griglia standard, con $b_1$ e $b_2$ come frecce scure, la griglia obliqua che formano e $x$ in blu. A destra, nel grafico B, $b_1$ e $b_2$ sono i lati del quadrato unitario e $x$ occupa le sue coordinate. Trascina $b_1$ o $b_2$: a sinistra $x$ non si muove. Cambiano solo griglia e numeri, perché le coordinate sono letture fatte con un righello, non proprietà della freccia.

Per leggere le coordinate, riporta $x$ su ciascun asse di $B$ parallelamente all’altro vettore di base. Parallelamente a $b_2$, raggiungi l’asse $b_1$ in $c_1b_1$; parallelamente a $b_1$, raggiungi l’asse $b_2$ in $c_2b_2$. Sono i due segmenti gialli, che con le linee tratteggiate da $x$ formano un parallelogramma di diagonale $x$. Poiché $b_1$ e $b_2$ non sono collineari, ogni percorso incontra il proprio asse in un solo punto: le coordinate esistono e sono uniche.

Sostituisci $b_1$ con $k\,b_1$, con $k \ne 0$, e mantieni $b_2$. Poiché $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, la prima coordinata diventa $c_1/k$ e la seconda resta uguale: un righello lungo il doppio dà metà lettura. Ruotare un vettore di base non segue questa regola e può cambiare entrambe le coordinate.

Affianca $b_1$ e $b_2$ come colonne di una matrice $P$. Allora $x = c_1b_1 + c_2b_2$ significa $x = P\,[x]_B$: $P$ converte le coordinate in $B$ in coordinate standard; per il verso opposto serve $P^{-1}$.

Il grafico B è l’intero piano trasformato da $P^{-1}$. Questa trasformazione porta $b_1$ e $b_2$ in $(1, 0)$ e $(0, 1)$: la griglia di $B$ vi è quadrata, mentre la griglia standard può diventare obliqua. I vettori della base standard $\hat\imath$ e $\hat\jmath$ arrivano sulle colonne di $P^{-1}$. Il grafico è disegnato in coordinate B. Conserva tutte le lunghezze e tutti gli angoli solo se $b_1$ e $b_2$ sono vettori unitari perpendicolari.

Una scorciatoia allettante è tracciare le perpendicolari da $x$ alle rette di $b_1$ e $b_2$ e leggere dove cadono i piedi. L’opzione Piedi delle perpendicolari mostra questa lettura. Dà le coordinate quando $b_1 \perp b_2$; per vettori unitari perpendicolari ogni lettura è semplicemente il prodotto scalare $x\cdot b_i$. In una base obliqua è sbagliata per ogni $x$ tranne 0.

Due vettori collineari non sono una base. Allora $\det P = 0$ e la griglia collassa sulla retta, oppure su O se entrambi sono nulli. Se $x$ appartiene alla griglia collassata, ha infinite letture: con $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ e $x = (3, 3)$, va bene ogni $(c_1, c_2)$ che soddisfi $c_1 + 2c_2 = 3$. Se $x$ è all’esterno, non ne ha nessuna.