Base y coordenadas

Una base del plano es un par ordenado de vectores $b_1, b_2$ no colineales. Todo vector $x$ puede escribirse de una única forma como $x = c_1b_1 + c_2b_2$. Los números $c_1, c_2$ son las coordenadas de $x$ en la base $B = (b_1, b_2)$, que se escriben $[x]_B$.

A la izquierda está la cuadrícula estándar, con $b_1$ y $b_2$ como flechas oscuras, la cuadrícula oblicua que forman y $x$ en azul. A la derecha, en el gráfico B, $b_1$ y $b_2$ son los lados del cuadrado unidad, y $x$ está en sus coordenadas. Arrastra $b_1$ o $b_2$: $x$ no se mueve a la izquierda. Solo cambian la cuadrícula y los números, porque las coordenadas son una lectura hecha con una regla, no una propiedad de la flecha.

Para leer las coordenadas, lleva $x$ hasta cada eje de $B$ en paralelo al otro vector de base. En paralelo a $b_2$, llegas al eje $b_1$ en $c_1b_1$; en paralelo a $b_1$, llegas al eje $b_2$ en $c_2b_2$. Son los dos segmentos amarillos. Junto con las líneas discontinuas desde $x$, forman un paralelogramo cuya diagonal es $x$. Como $b_1$ y $b_2$ no son colineales, cada recorrido corta su eje en un único punto: las coordenadas existen y son únicas.

Sustituye $b_1$ por $k\,b_1$, con $k \ne 0$, y conserva $b_2$. Como $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, la primera coordenada pasa a ser $c_1/k$ y la segunda no cambia: una regla del doble de longitud da la mitad de lectura. Girar un vector de base no sigue esta regla y puede cambiar ambas coordenadas.

Pon $b_1$ y $b_2$ uno junto a otro como columnas de una matriz $P$. Entonces $x = c_1b_1 + c_2b_2$ significa $x = P\,[x]_B$: $P$ convierte las coordenadas en $B$ en coordenadas estándar; en sentido contrario se necesita $P^{-1}$.

El gráfico B es todo el plano transformado por $P^{-1}$. Envía $b_1$ y $b_2$ a $(1, 0)$ y $(0, 1)$, así que allí la cuadrícula de $B$ es cuadrada y la estándar puede volverse oblicua. Los vectores estándar $\hat\imath$ y $\hat\jmath$ llegan a las columnas de $P^{-1}$. El gráfico se dibuja en coordenadas de B. Conserva todas las longitudes y todos los ángulos solo si $b_1$ y $b_2$ son vectores unitarios perpendiculares.

Un atajo tentador consiste en trazar perpendiculares desde $x$ a las rectas de $b_1$ y $b_2$ y leer dónde caen. La opción Pies de perpendiculares muestra esa lectura. Da las coordenadas cuando $b_1 \perp b_2$; con vectores unitarios perpendiculares, cada lectura es simplemente el producto escalar $x\cdot b_i$. En una base oblicua, es incorrecta para todo $x$ salvo 0.

Dos vectores colineales no son una base. Entonces $\det P = 0$ y la cuadrícula colapsa sobre la recta, o sobre O si ambos son nulos. Si $x$ pertenece a la cuadrícula colapsada, tiene infinitas lecturas: con $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ y $x = (3, 3)$, sirve cualquier $(c_1, c_2)$ que cumpla $c_1 + 2c_2 = 3$. Si $x$ está fuera, no tiene ninguna.