Basis dan koordinat

Basis bidang adalah pasangan terurut vektor $b_1, b_2$ yang tidak segaris. Setiap vektor $x$ lalu dapat ditulis dengan tepat satu cara sebagai $x = c_1b_1 + c_2b_2$. Bilangan $c_1, c_2$ adalah koordinat dari $x$ dalam basis $B = (b_1, b_2)$, ditulis $[x]_B$.

Gambar kiri adalah kisi standar, dengan $b_1$ dan $b_2$ sebagai panah gelap, kisi miring yang dibentuk keduanya, dan $x$ berwarna biru. Gambar kanan adalah diagram B: $b_1$ dan $b_2$ menjadi sisi persegi satuan, dan $x$ berada pada koordinatnya. Seret $b_1$ atau $b_2$; $x$ di kiri tidak bergerak. Hanya kisi dan angkanya yang berubah, karena koordinat adalah pembacaan dengan penggaris, bukan sifat panah.

Untuk membaca koordinat, geser $x$ kembali ke tiap sumbu $B$ sejajar dengan vektor basis yang lain. Bergerak sejajar $b_2$ mencapai sumbu $b_1$ di $c_1b_1$; bergerak sejajar $b_1$ mencapai sumbu $b_2$ di $c_2b_2$. Itulah dua ruas kuning yang bersama garis putus-putus dari $x$ membentuk jajargenjang dengan diagonal $x$. Karena $b_1$ dan $b_2$ tidak segaris, setiap pergeseran bertemu sumbunya di tepat satu titik, sehingga koordinat ada dan unik.

Ganti $b_1$ dengan $k\,b_1$, dengan $k \ne 0$, dan pertahankan $b_2$. Karena $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$, koordinat pertama menjadi $c_1/k$ dan yang kedua tetap: penggaris dua kali lebih panjang memberi setengah nilai pembacaan. Memutar vektor basis tidak mengikuti aturan ini; kedua koordinat dapat berubah.

Letakkan $b_1$ dan $b_2$ berdampingan sebagai kolom matriks $P$. Maka $x = c_1b_1 + c_2b_2$ berarti $x = P\,[x]_B$: $P$ mengubah koordinat dalam $B$ menjadi koordinat standar; arah sebaliknya memerlukan $P^{-1}$.

Diagram B adalah seluruh bidang yang ditransformasikan oleh $P^{-1}$. Transformasi ini memetakan $b_1$ dan $b_2$ ke $(1, 0)$ dan $(0, 1)$, sehingga kisi $B$ menjadi persegi, sedangkan kisi standar dapat menjadi miring. Vektor basis standar $\hat\imath$ dan $\hat\jmath$ berada pada kolom-kolom $P^{-1}$. Diagram digambar dalam koordinat B. Semua panjang dan sudut terjaga hanya jika $b_1$ dan $b_2$ adalah vektor satuan yang saling tegak lurus.

Jalan pintas yang menggoda adalah menarik garis tegak lurus dari $x$ ke garis $b_1$ dan $b_2$, lalu membaca tempat kaki garisnya. Kaki garis tegak lurus menunjukkan cara baca ini. Hasilnya sama dengan koordinat jika $b_1 \perp b_2$; untuk vektor satuan yang tegak lurus, setiap pembacaan cukup berupa hasil kali titik $x\cdot b_i$. Pada basis miring, cara ini salah untuk setiap $x$ selain 0.

Dua vektor segaris bukan basis. Saat itu $\det P = 0$ dan kisi runtuh ke garis tersebut, atau ke O jika kedua vektor nol. Jika $x$ berada dalam kisi yang runtuh, ada tak hingga banyak pembacaan: untuk $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ dan $x = (3, 3)$, setiap $(c_1, c_2)$ yang memenuhi $c_1 + 2c_2 = 3$ dapat digunakan. Jika $x$ di luar kisi, tidak ada pembacaan.