Vektor eigen

Matriks 2 × 2 adalah transformasi linear pada bidang yang dapat membelokkan vektor keluar dari garisnya sendiri. Vektor eigen adalah vektor yang tidak dibelokkan demikian: Av = λv, dengan nilai eigen λ menyatakan seberapa besar v diregangkan, dipendekkan, atau dibalik arahnya. Setiap kelipatan tak nol dari vektor eigen juga merupakan vektor eigen dengan λ yang sama, jadi yang penting adalah garisnya.

Gambar mengikuti semua arah sekaligus. Lingkaran putus-putus adalah lingkaran satuan, elips adalah bayangannya di bawah A, dan setiap jarum pendek pada lingkaran menunjukkan ke arah mana A memetakan titik itu. Dengan matriks awal, putar vektor uji merah v dan amati panah kuning Av: panah itu condong ke satu sisi garis v, lalu ke sisi lainnya. Hanya pada garis biru Av terletak sepanjang v. Itulah garis-garis eigen, masing-masing diberi label λ-nya.

Mengapa nilai eigen merupakan akar det(A − λI)? Tulis ulang Av = λv sebagai (A − λI)v = 0. Vektor tak nol v hanya dapat memenuhinya jika A − λI memipihkan bidang dan memetakan seluruh garis ke titik asal. Ini terjadi tepat ketika determinannya 0. Jendela A − λI menggambar p(λ) = det(A − λI) sebagai kurva. Seret λ ke suatu akar, maka bayangan persegi satuan runtuh menjadi garis, atau menjadi titik asal jika A = λI. Vektor tak nol yang dipetakan ke titik asal adalah vektor eigen untuk λ tersebut.

Dua vektor eigen yang bebas linear, e₁ dan e₂, membentuk basis yang membuat A mengalikan komponen sepanjang e₁ dengan λ₁ dan komponen sepanjang e₂ dengan λ₂. Jadi, dalam koordinat ini matriksnya diagonal. Basis eigen menggambar satu sel basis ini dan bayangannya, dengan label titik sudut dihitung dalam e₁ dan e₂, bukan x dan y. Tidak semua matriks memiliki basis seperti ini. p(λ) adalah polinom kuadrat yang mungkin tidak memiliki akar riil, seperti pada Putar 90°, yang memutar setiap arah. Polinom itu juga dapat memiliki akar kembar, seperti pada Geseran, yang hanya mempertahankan satu garis.

Terapkan berulang mengalikan v dengan A berulang kali dan menandai arah v, Av, A²v, dan seterusnya. Ketika nilai eigen riil dan nilai mutlaknya berbeda, setiap langkah mengalikan kedua komponen eigen v dengan nilai eigen masing-masing, sehingga komponen dengan nilai eigen yang nilai mutlaknya lebih besar menjadi dominan. Arah-arah itu mendekati garis komponen tersebut, kecuali v berawal pada garis yang lain. Metode pangkat mencari vektor eigen dengan cara ini. Pada Tukar, dengan nilai eigen 1 dan −1, vektor yang berada di luar kedua garis terus berganti antara dua arah selamanya.