特征向量与本页画面
2 × 2矩阵是平面上的一个线性变换，它可能把向量转离自己所在的直线。特征向量是没有被转走的向量：Av = λv，其中特征值λ说明v被拉长、缩短还是反向了多少。特征向量的任何非零倍数也是特征向量，特征值相同，所以要紧的是那条直线。
画面同时跟踪所有方向。虚线圆是单位圆，椭圆是它在A下的像；圆上每根短针指向A把那一点送去的方向。在默认矩阵下转动红色的探针v，看黄色的箭头Av：它先偏到v所在直线的一侧，再偏到另一侧。只有在蓝线上，Av才沿着v。这些蓝线就是特征线，每条都标着自己的λ。
特征值为什么是det(A − λI)的根？把Av = λv改写成(A − λI)v = 0。要有非零的v满足它，A − λI必须把平面压扁，把一整条直线送到原点；而这恰好发生在它的行列式等于0的时候。A − λI小窗把p(λ) = det(A − λI)画成一条曲线。把λ拖到一个根上，单位正方形的像就压成一条线；A = λI时则缩成原点。被送到原点的非零向量，就是这个λ的特征向量。
两个线性无关的特征向量e₁、e₂组成一组基，在这组基下A只做伸缩：沿e₁拉伸λ₁倍，沿e₂拉伸λ₂倍，所以用这组基的坐标来写，A的矩阵是对角的。“特征基”画出这组基的一个基本格和它的像，格子角上的标注按e₁、e₂计数，不是按x、y。并不是每个矩阵都有这样的基。p(λ)是二次式，可能没有实根，比如“转90°”，它把每个方向都转走了；也可能有重根，比如“剪切”，它只保留一条直线。
“反复作用”用A一次又一次地乘v，标出v、Av、A²v……的方向。两个特征值都是实数、绝对值不同时，每乘一次，v沿两条特征线的分量就各乘上对应的特征值，绝对值较大的特征值对应的分量越来越占上风。于是这些方向会落到它的特征线上，除非v一开始就在另一条特征线上。幂迭代法就是这样找特征向量的。“对调”的特征值是1和−1，不在两条特征线上的向量会在两个方向之间来回翻，永远停不下来。
值得注意
- 单看读数里的投影v·Av，判断不出v是不是特征向量。只有在特征线上，Av才是v的倍数，页面也只在那里写Av = λv。
- 反复作用时，各点都在圆上，是因为只画了方向。向量本身可能变长或变短，运行时状态行写着这一步的长度倍数。
- λ在根上且A ≠ λI时，黄色虚线是A − λI把平面送去的那条线。λ自己的特征线，也就是被送到原点的那条，是加粗的蓝线。重根时这两条可能是同一条线。
操作
- v和某列的尖重合时，按下去拿到的是v。不拖动、点一下，下一次按下拿到的就是另一个。
- 在A − λI小窗里，按轴上任意一处，λ就移到那里。λ会吸附在根和整数上。