Bu görselleştirmede özvektörler
2 × 2 bir matris, düzlemde bir doğrusal dönüşümdür ve bir vektörü kendi doğrusundan saptırabilir. Özvektör, saptırmadığı vektördür: Av = λv. Buradaki özdeğer λ, v’nin ne kadar uzadığını, kısaldığını veya ters yöne döndüğünü belirtir. Bir özvektörün sıfırdan farklı her katı, aynı λ değerine sahip başka bir özvektördür; dolayısıyla belirleyici olan doğrudur.
Şekil bütün yönleri aynı anda gösterir. Kesikli çember birim çemberdir, elips onun A altındaki görüntüsüdür ve çember üzerindeki her kısa ibre, A’nın o noktayı gönderdiği yönü gösterir. Varsayılan matriste kırmızı deneme vektörü v’yi döndürüp sarı Av okunu izleyin: önce v’nin doğrusunun bir yanına, sonra öbür yanına eğilir. Av, yalnızca mavi doğrular üzerinde v ile aynı doğru üzerindedir. Bunlar özvektör doğrularıdır; her birinin yanında λ değeri yazılıdır.
Özdeğerler neden det(A − λI) ifadesinin kökleridir? Av = λv eşitliğini (A − λI)v = 0 biçiminde yazın. Sıfırdan farklı bir v, bu eşitliği ancak A − λI düzlemi sıkıştırıp bütün bir doğruyu orijine gönderirse sağlayabilir; bu da tam olarak determinantı 0 olduğunda gerçekleşir. A − λI penceresi p(λ) = det(A − λI) eğrisini çizer. λ’yı bir köke sürüklediğinizde birim karenin görüntüsü bir doğruya, A = λI ise orijine çöker. Orijine gönderilen sıfırdan farklı vektörler, o λ değerinin özvektörleridir.
Bağımsız iki özvektör e₁ ve e₂, A’nın e₁ doğrultusundaki bileşeni λ₁ ile, e₂ doğrultusundakini λ₂ ile çarptığı bir baz oluşturur. Bu koordinatlarda matrisi köşegendir. Özvektör bazı, bu bazın bir hücresini ve görüntüsünü çizer; köşe etiketleri x ve y ile değil, e₁ ve e₂ ile ifade edilir. Her matrisin böyle bir bazı yoktur. p(λ) ikinci dereceden bir polinomdur ve her yönü döndüren 90° döndür örneğinde olduğu gibi gerçek kökü olmayabilir. Yalnızca bir doğruyu koruyan Kayma örneğindeki gibi çift katlı bir kökü de olabilir.
Tekrar tekrar uygula, v’yi art arda A ile çarpar ve v, Av, A²v gibi vektörlerin yönlerini işaretler. Özdeğerler gerçek ve mutlak değerleri farklı olduğunda, her adım v’nin iki özvektör bileşenini karşılık gelen özdeğerle çarpar; böylece özdeğerinin mutlak değeri daha büyük olan bileşen baskın hâle gelir. v diğer doğru üzerinde başlamadıysa yönler baskın bileşenin doğrusuna yaklaşır. Kuvvet yöntemi bu yolla bir özvektör bulur. Özdeğerleri 1 ve −1 olan Yer değiştir örneğinde ise iki doğrunun da dışında kalan bir vektör sonsuza dek iki yön arasında gidip gelir.
Dikkat edilecekler
- Okuma alanındaki v·Av izdüşümü, tek başına v’nin bir özvektör olup olmadığını söylemez. Av ancak bir özvektör doğrusu üzerinde v’nin bir katıdır ve sayfa yalnızca orada Av = λv yazar.
- İşlemdeki noktalar çember üzerinde yer alır, çünkü yalnızca yönler çizilir. Vektörlerin kendileri uzayabilir ya da kısalabilir; işlem sırasında durum satırı her adımdaki uzunluk çarpanını verir.
- λ bir kök ve A ≠ λI olduğunda, sarı kesikli doğru A − λI dönüşümünün düzlemi gönderdiği yerdir. λ’nın kendi özvektör doğrusu, yani orijine gönderilen doğru, daha kalın mavi doğrudur. Çift katlı bir kökte bu ikisi aynı doğru olabilir.
Kontroller
- v ile bir sütunun ucu üst üste geldiğinde basmak v’yi seçer. Sürüklemeden bir kez tıklayın; sonraki basış diğerini seçer.
- A − λI penceresinde λ’yı bir yere taşımak için eksenin o noktasına basın. λ, köklere ve tam sayılara takılır.