Eigenvektor

Eine 2 × 2-Matrix ist eine lineare Transformation der Ebene und kann einen Vektor von seiner eigenen Geraden wegdrehen. Ein Eigenvektor bleibt dagegen auf seiner Geraden: Av = λv. Der Eigenwert λ bestimmt, wie stark v gestreckt, gestaucht oder in die Gegenrichtung geschickt wird. Jedes von null verschiedene Vielfache eines Eigenvektors ist wieder ein Eigenvektor zum selben λ. Entscheidend ist also die Gerade.

Die Darstellung verfolgt alle Richtungen zugleich. Der gestrichelte Kreis ist der Einheitskreis, die Ellipse sein Bild unter A. Jede kurze Nadel auf dem Kreis zeigt, wohin A den jeweiligen Punkt abbildet. Drehe bei der Ausgangsmatrix den roten Probevektor v und beobachte den gelben Pfeil Av: Er liegt erst auf der einen, dann auf der anderen Seite der Geraden durch v. Nur auf den blauen Geraden liegt Av in derselben Linie wie v. Das sind die Eigengeraden, jeweils mit ihrem λ beschriftet.

Warum sind die Eigenwerte die Nullstellen von det(A − λI)? Schreibe Av = λv als (A − λI)v = 0. Ein von null verschiedenes v kann dies nur erfüllen, wenn A − λI die Ebene zusammendrückt und eine ganze Gerade auf den Ursprung abbildet. Das geschieht genau dann, wenn die Determinante 0 ist. Das Fenster A − λI zeigt p(λ) = det(A − λI) als Kurve. Ziehe λ auf eine Nullstelle: Das Bild des Einheitsquadrats fällt auf eine Gerade zusammen, bei A = λI sogar auf den Ursprung. Die von null verschiedenen Vektoren, die auf den Ursprung abgebildet werden, sind die Eigenvektoren zu diesem λ.

Zwei unabhängige Eigenvektoren e₁ und e₂ bilden eine Basis, in der A nur skaliert: entlang e₁ mit λ₁ und entlang e₂ mit λ₂. In diesen Koordinaten ist die Matrix daher diagonal. Die Option Eigenbasis zeigt eine Zelle dieser Basis und ihr Bild. Die Eckpunkte sind in e₁- und e₂-Koordinaten beschriftet, nicht in x und y. Nicht jede Matrix besitzt eine solche Basis. p(λ) ist quadratisch und kann ohne reelle Nullstellen sein, wie bei 90° drehen, wo jede Richtung gedreht wird. Es kann auch eine doppelte Nullstelle haben, wie bei Scheren: Diese Scherung erhält nur eine Gerade.

Die Funktion Wiederholt anwenden multipliziert v immer wieder mit A und markiert die Richtungen von v, Av, A²v und so weiter. Sind die Eigenwerte reell und haben verschiedene Beträge, werden die beiden Eigenkomponenten von v bei jedem Schritt mit ihrem jeweiligen Eigenwert multipliziert. Die Komponente zum betragsmäßig größeren Eigenwert setzt sich durch. Die Richtungen nähern sich ihrer Geraden an, sofern v nicht auf der anderen startet. So findet die Potenzmethode einen Eigenvektor. Bei Vertauschen mit den Eigenwerten 1 und −1 wechselt ein Vektor außerhalb beider Eigengeraden dagegen unbegrenzt zwischen zwei Richtungen.