Matrizenmultiplikation

Eine 2 × 2-Matrix ist eine lineare Abbildung der Ebene. Ihre Spalten sind die Bilder von $\hat\imath = (1, 0)$ und $\hat\jmath = (0, 1)$. Das Produkt $AB$ beschreibt zwei aufeinanderfolgende Abbildungen, erst $B$, dann $A$: $(AB)x = A(Bx)$ für jeden Vektor $x$. Die Matrix direkt neben $x$ wirkt zuerst; deshalb liest man ein Produkt von rechts nach links.

Bei der Reihenfolge $AB$ zeigt das linke Bild $B$ auf dem Standardgitter: $\hat\imath$ und $\hat\jmath$ als blasse gestrichelte Pfeile, ihre Bilder $b_1$ und $b_2$, also die Spalten von $B$, in Blau. Das rechte Bild zeigt $A$: das aus dem Standardgitter entstandene Gitter, die eigenen Spalten $a_1$ und $a_2$ in dunkler Farbe und die Produktspalten $Ab_1$ und $Ab_2$ in Blau. Die Fahne zeigt dieselben zwei Schritte an einer Form. Jedes Bild hat seinen eigenen Maßstab, denn ein Produkt kann weit über seine Faktoren hinausreichen.

Wie entsteht eine Spalte von $AB$? $B$ bildet $\hat\imath$ auf $b_1 = (b_{11}, b_{21})$ ab: $b_{11}$ Schritte in Richtung $\hat\imath$ und $b_{21}$ Schritte in Richtung $\hat\jmath$. Da $A$ linear ist, bildet es diesen Punkt auf die entsprechende Kombination seiner eigenen Spalten ab: $b_{11}$ mal $a_1$, gefolgt von $b_{21}$ mal $a_2$. Es liest nur die beiden Zahlen von $b_1$, nicht die Entstehung von $b_1$. Rechts ist die gewählte Produktspalte als diese Kombination gezeichnet: zwei dünne Teilvektoren entlang $a_1$ und $a_2$, die am blauen Pfeil enden. Ziehe links an $b_1$; die Teilvektoren wachsen und schrumpfen mit seinen Zahlen.

Die Regel Zeile mal Spalte ist diese Kombination in Koordinaten. Die x-Koordinate von $Ab_j$ ist die Summe der horizontalen Anteile der beiden Teilvektoren, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: Zeile 1 von $A$ mal Spalte $j$ von $B$. Die y-Koordinate ergibt sich genauso aus Zeile 2. Zeile × Spalte zeichnet diese Anteile entlang der Achsen und beschriftet jeden mit seinem Produkt.

Die Reihenfolge zählt, weil die zweite Abbildung auf dem Ergebnis der ersten arbeitet. Eine Vierteldrehung, dann eine Scherung: $\hat\imath$ gelangt nach $(0, 1)$, dann nach $(1, 1)$. Erst scheren, dann drehen: $\hat\imath$ bleibt zunächst bei $(1, 0)$, dann gelangt es nach $(0, 1)$. Sobald auch die andere Reihenfolge ausgeführt wurde, erscheint ihr Ergebnis rechts als gestrichelte blaue Pfeile, bis A oder B verändert wird. Manche Paare sind vertauschbar: Zwei Drehungen der Ebene um den Ursprung addieren ihre Winkel in beiden Reihenfolgen.

Flächenfaktoren multiplizieren sich. $B$ macht aus dem Einheitsquadrat ein Parallelogramm mit Flächeninhalt $|\det B|$. Anschließend multipliziert $A$ jeden Flächeninhalt mit $|\det A|$. Mit Vorzeichen gilt $\det(AB) = \det A\cdot\det B$. Weil Zahlen vertauschbar multipliziert werden, gilt $\det(AB) = \det(BA)$ selbst dann, wenn $AB \ne BA$. In der Voreinstellung sind $\det A = 2$ und $\det B = 3$; beide Produkte haben daher die Determinante 6.