Perkalian matriks

Matriks 2 × 2 adalah transformasi linear pada bidang, dan kolom-kolomnya adalah tujuan pemetaan $\hat\imath = (1, 0)$ dan $\hat\jmath = (0, 1)$. Hasil kali $AB$ adalah matriks dua transformasi berurutan, $B$ dahulu lalu $A$: $(AB)x = A(Bx)$ untuk setiap vektor $x$. Matriks yang bersebelahan dengan $x$ bekerja lebih dahulu, sehingga hasil kali dibaca dari kanan ke kiri.

Dalam urutan $AB$, gambar kiri menunjukkan $B$ pada kisi standar: $\hat\imath$ dan $\hat\jmath$ berupa panah putus-putus samar, sedangkan bayangannya $b_1$ dan $b_2$, yaitu kolom-kolom $B$, berwarna biru. Gambar kanan menunjukkan $A$: kisi hasil transformasinya, kolom-kolomnya $a_1$ dan $a_2$ berwarna gelap, serta kolom hasil kali $Ab_1$ dan $Ab_2$ berwarna biru. Bendera memperlihatkan dua langkah yang sama pada sebuah bentuk. Setiap gambar memiliki skala sendiri, karena hasil kali dapat menjangkau jauh melampaui faktor-faktornya.

Dari mana sebuah kolom $AB$ berasal? $B$ memetakan $\hat\imath$ ke $b_1 = (b_{11}, b_{21})$, yakni $b_{11}$ langkah sepanjang $\hat\imath$ dan $b_{21}$ langkah sepanjang $\hat\jmath$. Karena $A$ linear, titik itu dipetakan ke kombinasi kolomnya sendiri dengan langkah yang sama: $b_{11}$ kali $a_1$, disusul $b_{21}$ kali $a_2$. Transformasi ini hanya membaca dua bilangan dalam $b_1$, bukan bagaimana $b_1$ terbentuk. Di kanan, kolom hasil kali yang dipilih digambar sebagai kombinasi tersebut: dua ruas vektor tipis sepanjang $a_1$ dan $a_2$ yang berakhir di ujung panah biru. Seret $b_1$ di kiri; ruas-ruas itu memanjang dan memendek mengikuti bilangannya.

Aturan baris kali kolom adalah kombinasi ini yang ditulis dalam koordinat. Koordinat x dari $Ab_j$ menjumlahkan komponen horizontal kedua ruas vektornya, $a_{11}b_{1j} + a_{12}b_{2j}$: baris 1 $A$ dikalikan kolom $j$ $B$. Koordinat y diperoleh dengan cara yang sama dari baris 2. Baris × kolom menggambar komponen-komponen ini sepanjang sumbu, masing-masing diberi label hasil perkaliannya.

Urutan penting karena transformasi kedua bekerja pada hasil transformasi pertama. Putar seperempat putaran lalu terapkan geseran: $\hat\imath$ berpindah ke $(0, 1)$, lalu ke $(1, 1)$. Terapkan geseran lalu putar: $\hat\imath$ tetap di $(1, 0)$, lalu berpindah ke $(0, 1)$. Setelah urutan lainnya juga dikomposisikan, hasilnya muncul di kanan sebagai panah biru putus-putus hingga A atau B diubah. Beberapa pasangan memang dapat bertukar urutan. Dua rotasi bidang terhadap titik asal menjumlahkan sudutnya dalam urutan mana pun.

Faktor luas saling dikalikan. $B$ mengubah persegi satuan menjadi jajargenjang berluas $|\det B|$, kemudian $A$ mengalikan setiap luas dengan $|\det A|$. Dengan tanda, berlaku $\det(AB) = \det A\cdot\det B$. Karena perkalian bilangan komutatif, $\det(AB) = \det(BA)$ meskipun $AB \ne BA$. Pada pengaturan awal, $\det A = 2$ dan $\det B = 3$, sehingga kedua hasil kali memiliki determinan 6.