Kombinasi linear

Ambil dua vektor v dan w serta dua bilangan a dan b. Vektor av + bw adalah kombinasi linear dari v dan w dengan koefisien a dan b: bergerak a kali v, lalu b kali w. Koefisiennya boleh berupa bilangan real apa pun. Bilangan antara 0 dan 1 mengambil sebagian panah, sedangkan bilangan negatif membalik arahnya.

Saat Bebas dipilih, kedua ruas perjalanan berupa panah biru tipis: a·v dari O, lalu b·w dari ujungnya. Panah biru tebal dari O ke P adalah jumlah keduanya. Titik-titik kecil berwarna gelap menandai resep dengan koefisien bulat. Jika v dan w tidak segaris, mengubah a saja menggerakkan P sejajar v, sedangkan mengubah b saja menggerakkannya sejajar w. Jadi a dan b adalah koordinat P pada kisi miring v dan w. Daerah biru muda memuat semua titik yang dapat dicapai oleh resep yang diizinkan.

Jika v dan w tidak segaris, setiap titik di bidang merupakan kombinasi linear keduanya dengan tepat satu cara. Konstruksi berikut menjelaskan alasannya. Tarik garis melalui P yang sejajar w. Garis itu memotong garis v di tepat satu titik, yaitu a·v untuk tepat satu a. Sisa perjalanan dari a·v ke P sepanjang garis w, sehingga sama dengan b·w. Garis sejajar menggambar konstruksi ini dengan warna kuning.

Jika v dan w berada pada satu garis melalui O, semua kombinasinya tetap pada garis itu dan kisi miring runtuh menjadi garis tersebut. Titik di luar garis tidak dapat dicapai, sedangkan setiap titik pada garis memiliki tak terhingga banyak resep. Dengan v = (2, 1) dan w = −2v, titik (4, 2) sama dengan 2v + 0w, tetapi juga 0v − 1w dan 4v + 1w. Jika kedua vektor nol, hanya O yang dapat dicapai.

Sekarang buat jumlah koefisiennya 1, dengan a = 1 − μ dan b = μ. Maka P − v = μ(w − v), sehingga saat v ≠ w, P bergerak pada garis melalui kedua ujung. P ada di ujung v saat μ = 0, di ujung w saat μ = 1, dan bergerak sebanding di antaranya. P berada di antara kedua ujung jika dan hanya jika kedua bobot setidaknya 0. Setelah melewati ujung w, bobot 1 − μ pada v menjadi negatif.

Jika v dan w tidak segaris, menetapkan a + b = k menempatkan P pada garis melalui kv dengan arah w − v, sejajar garis melalui kedua ujung. Jumlah sama menggambar garis-garis ini untuk bilangan bulat k. Jarak antargaris sama, dan jaraknya dari O sebanding dengan |k|.

Jika v dan w tidak segaris, batasan pada koefisien menghasilkan bentuk. Dengan a, b ≥ 0 (Daerah sudut), resep-resep mengisi sudut antara sinar v dan w. Dengan 0 ≤ a, b ≤ 1 (Jajargenjang), resep-resep mengisi jajargenjang dengan sisi v dan w. Dengan a, b ≥ 0 dan a + b ≤ 1 (Segitiga), resep-resep mengisi segitiga dengan titik sudut O dan kedua ujung.