Hasil kali titik

Untuk dua vektor tak nol $a = (a_1, a_2)$ dan $b = (b_1, b_2)$, hasil kali titik memiliki dua definisi. Yang satu mengalikan koordinat yang bersesuaian lalu menjumlahkannya. Yang lain mengalikan kedua panjang dengan kosinus sudut θ di antara vektor, tanpa menyebut koordinat. Di sini, Anda dapat memutar sumbu di bawah dua vektor yang tetap dan melihat mengapa keduanya selalu sama, asalkan sumbu saling tegak lurus dan memiliki panjang satuan yang sama.

Vektor tetap di tempatnya pada layar, sementara sumbu berputar di bawahnya. Setelah sumbu diputar sebesar φ, setiap vektor memiliki koordinat baru yang diberi tanda prima, seperti $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ dan $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. Batang penjumlahan di bawah bidang menyambungkan kedua suku $a_1'b_1'$ dan $a_2'b_2'$ ujung ke ujung. Saat sumbu berputar, kedua suku berubah, tetapi ujung keseluruhan baris tetap di tempatnya. Dengan nilai awal $a = (3, 1)$ dan $b = (1, 2)$, jumlahnya adalah $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Setelah diputar 135°, kedua suku menjadi −1 dan 6, dan jumlahnya tetap 5.

Menguraikan perkalian koordinat baru menunjukkan alasannya. Suku-suku silang dari kedua hasil kali muncul sekali dengan tanda plus dan sekali dengan tanda minus; $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ menyederhanakan sisanya. Uraian kedua suku menggambarkan proses ini dengan angka saat ini.

Karena jumlahnya sama pada setiap pasangan sumbu yang diputar, pilih pasangan paling mudah: sumbu x searah a. Maka $a = (|a|, 0)$, suku kedua 0, dan koordinat pertama b adalah $|b|\cos\theta$, yaitu seberapa jauh b menjangkau searah a, beserta tandanya. Inilah proyeksi skalar b pada a. Jadi $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: rumus geometris adalah rumus koordinat yang dibaca pada sumbu searah a. Jika sumbu searah b, hasilnya adalah |b| kali proyeksi skalar a pada b.

Panjang kedua vektor positif, sehingga tanda hasil kali titik sama dengan tanda $\cos\theta$. Nilainya positif untuk sudut lancip, 0 untuk sudut siku-siku, dan negatif untuk sudut tumpul, ketika proyeksi b berlawanan arah dengan a. Dua vektor tak nol saling tegak lurus jika dan hanya jika hasil kali titiknya 0, seperti (3, 1) dan (−1, 3). Sebaliknya, rumus itu memberi sudut dari koordinat:

Garis aras menjawab pertanyaan lain: untuk a ≠ 0 yang tetap, vektor x mana yang memenuhi $a \cdot x = c$? Semua x tersebut memiliki proyeksi skalar yang sama pada a, yaitu $c/|a|$, sehingga membentuk garis yang tegak lurus terhadap a. Garis-garis dengan nilai c berselisih 1 berjarak $1/|a|$, sehingga a yang lebih panjang membuatnya semakin rapat. Dengan a = (3, 1), garis melalui b = (1, 2) adalah $3x + y = 5$, dan (0, 5) serta (2, −1) juga berada di situ. Ini adalah bentuk normal persamaan garis, dengan a sebagai vektor normalnya.