Prodotto scalare

Per due vettori non nulli $a = (a_1, a_2)$ e $b = (b_1, b_2)$, il prodotto scalare ha due definizioni. Una moltiplica le coordinate corrispondenti e le somma. L’altra moltiplica le due lunghezze per il coseno dell’angolo θ fra i vettori, senza mai menzionare le coordinate. Qui puoi ruotare gli assi sotto due vettori fissi e vedere perché le due espressioni coincidono sempre, purché gli assi siano perpendicolari e abbiano la stessa unità di lunghezza.

I vettori restano al loro posto sullo schermo e gli assi ruotano sotto di essi. Dopo una rotazione di un angolo φ, ogni vettore ha nuove coordinate, indicate con apici, come $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ e $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. La barra della somma sotto il piano dispone i termini $a_1'b_1'$ e $a_2'b_2'$ uno di seguito all’altro. Mentre gli assi ruotano, entrambi i termini cambiano, ma l’estremità della riga resta ferma. Con i valori iniziali $a = (3, 1)$ e $b = (1, 2)$, la somma è $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Dopo una rotazione di 135°, i termini sono −1 e 6 e la loro somma è ancora 5.

Sviluppare le nuove coordinate mostra perché. I termini incrociati dei due prodotti compaiono una volta con il segno più e una volta con il segno meno, mentre $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ semplifica il resto. Sviluppo dei due termini rappresenta questo calcolo con i numeri attuali.

Poiché la somma è la stessa per ogni rotazione degli assi, scegliamo quelli più semplici: l’asse x lungo a. Allora $a = (|a|, 0)$, il secondo termine è 0 e la prima coordinata di b è $|b|\cos\theta$, la distanza con segno raggiunta da b lungo a. Questa è la proiezione di b su a. Quindi $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: la formula geometrica è la formula in coordinate letta negli assi allineati con a. Lungo b, è |b| per la proiezione di a su b.

Le lunghezze sono positive, quindi il prodotto scalare ha il segno di $\cos\theta$. È positivo per un angolo acuto, 0 per un angolo retto e negativo per un angolo ottuso, quando la proiezione di b cade nel verso opposto ad a. Due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è 0, come (3, 1) e (−1, 3). Letta al contrario, la formula dà l’angolo a partire dalle coordinate:

L’opzione Linee di livello risponde a un’altra domanda: fissato a ≠ 0, quali vettori x soddisfano $a \cdot x = c$? Tutti questi vettori x hanno la stessa proiezione su a, $c/|a|$, quindi formano una retta perpendicolare ad a. Le rette i cui valori di c differiscono di 1 distano $1/|a|$: più a è lungo, più sono vicine. Con a = (3, 1), la retta passante per b = (1, 2) è $3x + y = 5$, e anche (0, 5) e (2, −1) vi appartengono. Questa è la forma normale dell’equazione di una retta, con a come vettore normale.