Скалярное произведение

Для двух ненулевых векторов $a = (a_1, a_2)$ и $b = (b_1, b_2)$ есть два определения скалярного произведения. По одному перемножают соответствующие координаты и складывают результаты. По другому произведение длин умножают на косинус угла θ между векторами, вообще не обращаясь к координатам. Здесь можно поворачивать оси под двумя неподвижными векторами и увидеть, почему оба определения всегда согласуются, если оси перпендикулярны и имеют одинаковую единицу длины.

Векторы остаются на своих местах на экране, а оси поворачиваются под ними. При повороте осей на угол φ каждый вектор получает новые координаты, обозначенные штрихами, например $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ и $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. На шкале суммы под плоскостью слагаемые $a_1'b_1'$ и $a_2'b_2'$ отложены друг за другом. При повороте осей оба слагаемых меняются, но конец строки остаётся на месте. Для исходных $a = (3, 1)$ и $b = (1, 2)$ сумма равна $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. При повороте на 135° слагаемые равны −1 и 6, и их сумма по-прежнему 5.

Если раскрыть произведения новых координат, станет ясно почему. Перекрёстные члены двух произведений появляются один раз со знаком плюс и один раз со знаком минус, а $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ позволяет объединить остальные. Окно Раскрыть оба слагаемых показывает это для текущих чисел.

Раз сумма одинакова при любом повороте осей, выберем самые удобные: направим ось x вдоль a. Тогда $a = (|a|, 0)$, второе слагаемое равно 0, а первая координата b равна $|b|\cos\theta$ — тому, насколько b продвигается вдоль a, с учётом знака. Это проекция b на a. Поэтому $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: геометрическая формула — это координатная формула в осях, направленных вдоль a. Вдоль b получается |b|, умноженное на проекцию a на b.

Длины положительны, поэтому знак скалярного произведения совпадает со знаком $\cos\theta$. Для острого угла оно положительно, для прямого равно 0, а для тупого отрицательно: проекция b направлена противоположно a. Два ненулевых вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0, как у (3, 1) и (−1, 3). Та же формула позволяет найти угол по координатам:

Линии уровня отвечают на другой вопрос: какие векторы x при фиксированном a ≠ 0 удовлетворяют $a \cdot x = c$? У всех таких x одна и та же проекция на a, равная $c/|a|$, поэтому они заполняют прямую, перпендикулярную a. Прямые со значениями c, отличающимися на 1, расположены на расстоянии $1/|a|$, поэтому чем длиннее a, тем теснее они идут. При a = (3, 1) прямая через b = (1, 2) имеет уравнение $3x + y = 5$; на ней лежат и (0, 5), и (2, −1). Это запись прямой через нормаль, где a — её нормальный вектор.