Skalarprodukt

Für zwei von null verschiedene Vektoren $a = (a_1, a_2)$ und $b = (b_1, b_2)$ gibt es zwei Definitionen des Skalarprodukts. Die eine multipliziert entsprechende Koordinaten und addiert sie. Die andere multipliziert die beiden Längen mit dem Kosinus des Winkels θ zwischen den Vektoren, ganz ohne Koordinaten. Hier kannst du die Achsen unter zwei festen Vektoren drehen und sehen, warum beide stets dasselbe ergeben, solange die Achsen senkrecht zueinander stehen und dieselbe Einheitslänge haben.

Die Vektoren bleiben auf dem Bildschirm an ihrem Platz, während sich die Achsen unter ihnen drehen. Nach einer Drehung um den Winkel φ hat jeder Vektor neue, mit Strichen gekennzeichnete Koordinaten, etwa $a_1' = a_1\cos\varphi + a_2\sin\varphi$ und $a_2' = -a_1\sin\varphi + a_2\cos\varphi$. Der Summenbalken unter der Ebene legt die beiden Terme $a_1'b_1'$ und $a_2'b_2'$ hintereinander. Beim Drehen ändern sich beide Terme, doch das Ende der Reihe bleibt an derselben Stelle. Mit den Anfangswerten $a = (3, 1)$ und $b = (1, 2)$ ist die Summe $3 \cdot 1 + 1 \cdot 2 = 5$. Nach einer Drehung um 135° sind die Terme −1 und 6, und ihre Summe ist weiterhin 5.

Ausmultiplizieren der neuen Koordinaten erklärt das. Die gemischten Terme der beiden Produkte treten einmal mit Plus und einmal mit Minus auf; $\cos^2\varphi + \sin^2\varphi = 1$ fasst den Rest zusammen. Beide Terme ausmultipliziert zeigt dies mit den aktuellen Zahlen.

Da die Summe in jedem gedrehten Achsenpaar gleich ist, wählen wir das einfachste: die x-Achse entlang a. Dann gilt $a = (|a|, 0)$, der zweite Term ist 0, und die erste Koordinate von b ist $|b|\cos\theta$: wie weit b entlang a reicht, mit Vorzeichen. Das ist die skalare Projektion von b auf a. Also gilt $a_1b_1 + a_2b_2 = |a| \cdot |b|\cos\theta$: Die geometrische Formel ist die Koordinatenformel, abgelesen in Achsen entlang a. Entlang b ergibt sich |b| mal die skalare Projektion von a auf b.

Die Längen sind positiv, daher hat das Skalarprodukt das Vorzeichen von $\cos\theta$. Es ist positiv bei einem spitzen Winkel, 0 bei einem rechten und negativ bei einem stumpfen Winkel, bei dem die Projektion von b entgegen der Richtung von a liegt. Zwei von null verschiedene Vektoren sind genau dann senkrecht, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist, etwa (3, 1) und (−1, 3). Umgekehrt lässt sich mit der Formel der Winkel aus den Koordinaten bestimmen:

Niveaulinien beantworten eine andere Frage: Welche Vektoren x erfüllen für ein festes a ≠ 0 die Gleichung $a \cdot x = c$? Alle diese x haben dieselbe skalare Projektion auf a, nämlich $c/|a|$. Sie bilden daher eine Gerade senkrecht zu a. Geraden, deren c-Werte sich um 1 unterscheiden, haben den Abstand $1/|a|$; ein längeres a rückt sie also näher zusammen. Für a = (3, 1) lautet die Gerade durch b = (1, 2) $3x + y = 5$, und auch (0, 5) und (2, −1) liegen darauf. Dies ist die Normalenform einer Geraden, mit a als Normalenvektor.