Basis und Koordinaten

Eine Basis der Ebene ist ein geordnetes Paar nicht kollinearer Vektoren $b_1, b_2$. Jeder Vektor $x$ lässt sich dann auf genau eine Weise als $x = c_1b_1 + c_2b_2$ schreiben. Die Zahlen $c_1, c_2$ sind die Koordinaten von $x$ bezüglich der Basis $B = (b_1, b_2)$, geschrieben $[x]_B$.

Links siehst du das Standardgitter mit $b_1$ und $b_2$ als dunklen Pfeilen, ihrem schiefen Gitter und $x$ in Blau. Rechts liegt das B-Koordinatenbild: $b_1$ und $b_2$ bilden die Seiten des Einheitsquadrats, $x$ liegt an seinen Koordinaten. Ziehst du $b_1$ oder $b_2$, bleibt $x$ links unverändert. Nur Gitter und Zahlen ändern sich, denn Koordinaten sind mit einem Maßstab abgelesene Werte und keine Eigenschaft des Pfeils.

Um die Koordinaten abzulesen, gehe von $x$ jeweils parallel zum anderen Basisvektor zurück auf eine Achse von $B$. Parallel zu $b_2$ triffst du die $b_1$-Achse bei $c_1b_1$; parallel zu $b_1$ die $b_2$-Achse bei $c_2b_2$. Das sind die beiden gelben Strecken. Mit den gestrichelten Linien von $x$ bilden sie ein Parallelogramm mit der Diagonale $x$. Da $b_1$ und $b_2$ nicht kollinear sind, wird jede Achse in genau einem Punkt getroffen: Die Koordinaten existieren und sind eindeutig.

Ersetze $b_1$ durch $k\,b_1$ mit $k \ne 0$ und halte $b_2$ fest. Wegen $x = (c_1/k)(k\,b_1) + c_2b_2$ wird die erste Koordinate zu $c_1/k$, die zweite bleibt gleich: Ein doppelt so langer Maßstab liefert den halben Wert. Für das Drehen eines Basisvektors gilt diese Regel nicht; beide Koordinaten können sich ändern.

Schreibe $b_1$ und $b_2$ nebeneinander als Spalten einer Matrix $P$. Dann bedeutet $x = c_1b_1 + c_2b_2$ dasselbe wie $x = P\,[x]_B$: $P$ wandelt Koordinaten bezüglich $B$ in Standardkoordinaten um; für den Rückweg braucht man $P^{-1}$.

Das B-Koordinatenbild entsteht, indem die gesamte Ebene mit $P^{-1}$ abgebildet wird. Dabei gelangen $b_1$ und $b_2$ nach $(1, 0)$ und $(0, 1)$. Das Gitter von $B$ ist dort quadratisch, während unser Standardgitter schief werden kann. Die Standardbasisvektoren $\hat\imath$ und $\hat\jmath$ liegen an den Spalten von $P^{-1}$. Das Bild ist in B-Koordinaten gezeichnet. Alle Längen und Winkel bleiben nur erhalten, wenn $b_1$ und $b_2$ senkrechte Einheitsvektoren sind.

Eine verlockende Abkürzung ist, von $x$ die Lote auf die Geraden von $b_1$ und $b_2$ zu fällen und die Auftreffpunkte abzulesen. Die Option Lotfußpunkte zeigt diese Lesart. Bei $b_1 \perp b_2$ liefert sie die Koordinaten; bei senkrechten Einheitsvektoren ist jeder Wert einfach das Skalarprodukt $x\cdot b_i$. In einer schiefen Basis ist sie für jedes $x$ außer 0 falsch.

Zwei kollineare Vektoren bilden keine Basis. Dann gilt $\det P = 0$, und das Gitter fällt auf die Gerade zusammen, bei zwei Nullvektoren sogar auf O. Liegt $x$ im zusammengefallenen Gitter, gibt es unendlich viele Darstellungen: Bei $b_2 = 2b_1 = (2, 2)$ und $x = (3, 3)$ funktioniert jedes $(c_1, c_2)$ mit $c_1 + 2c_2 = 3$. Liegt $x$ außerhalb, gibt es keine.