Doğrusal birleşim

İki vektör v ve w ile iki sayı a ve b alın. av + bw vektörü, v ve w’nin a ve b katsayılı doğrusal birleşimidir: önce v’nin a katı, ardından w’nin b katı kadar ilerlenir. Katsayılar herhangi bir gerçek sayı olabilir. 0 ile 1 arasındaki bir sayı okun bir bölümünü alır; negatif bir sayı ise yönünü tersine çevirir.

Serbest seçiliyken iki yol parçası ince mavi oklardır: O’dan a·v, ardından onun ucundan b·w. O’dan P’ye giden kalın mavi ok bunların toplamıdır. Küçük koyu noktalar tam sayı katsayılı tarifleri gösterir. v ve w aynı doğru üzerinde değilse yalnızca a’yı değiştirmek P’yi v’ye paralel, yalnızca b’yi değiştirmek ise w’ye paralel hareket ettirir. Dolayısıyla a ve b, v ve w’nin eğik ızgarasında P’nin koordinatlarıdır. Açık mavi bölge, izin verilen tariflerle ulaşılabilen tüm noktalardır.

v ve w aynı doğru üzerinde değilse düzlemdeki her nokta bunların doğrusal birleşimi olarak tek bir biçimde yazılır. Nedenini bir çizim gösterir. P’den w’ye paralel bir doğru çizin. Bu doğru v’nin doğrusunu tek bir noktada keser; bu nokta tek bir a için a·v’dir. a·v’den P’ye kalan yol w boyunca gider, yani b·w’dir. Paraleller bu çizimi sarı renkte gösterir.

v ve w, O’dan geçen aynı doğru üzerindeyse her birleşim bu doğru üzerinde kalır ve eğik ızgara bu doğruya çöker. Doğru dışındaki noktalara ulaşılamaz; doğru üzerindeki her noktanın ise sonsuz tarifi vardır. v = (2, 1) ve w = −2v için (4, 2) noktası 2v + 0w’dir, ama 0v − 1w ve 4v + 1w de aynı noktayı verir. İki vektör de sıfırsa yalnızca O’ya ulaşılır.

Şimdi a = 1 − μ ve b = μ alarak katsayıların toplamını 1 yapın. O zaman P − v = μ(w − v) olur; dolayısıyla v ≠ w iken P iki uçtan geçen doğru üzerinde hareket eder. μ = 0 iken v’nin, μ = 1 iken w’nin ucundadır; arada orantılı olarak ilerler. P’nin iki uç arasında olması için gerek ve yeter koşul, her iki ağırlığın da en az 0 olmasıdır. w’nin ucunun ötesinde v’nin ağırlığı 1 − μ negatiftir.

v ve w aynı doğru üzerinde değilken bunun yerine a + b = k toplamını sabitlemek, P’yi kv’den geçen ve w − v yönünde olan doğruya yerleştirir. Bu doğru iki uçtan geçen doğruya paraleldir. Eşit toplamlar, tam sayı k değerleri için bu doğruları çizer. Doğrular eşit aralıklıdır ve O’ya uzaklıkları |k| ile orantılıdır.

v ve w aynı doğru üzerinde değilse katsayılara konan kısıtlar şekiller oluşturur. a, b ≥ 0 (Açı bölgesi) için tarifler v ve w ışınları arasındaki açıyı doldurur. 0 ≤ a, b ≤ 1 (Paralelkenar) için v ve w üzerine kurulan paralelkenarı doldurur. a, b ≥ 0 ve a + b ≤ 1 (Üçgen) için köşeleri O ile iki uç olan üçgeni doldurur.