Combinaison linéaire

Prenez deux vecteurs v et w et deux nombres a et b. Le vecteur av + bw est une combinaison linéaire de v et w, de coefficients a et b : a fois v, puis b fois w. Les coefficients peuvent être des réels quelconques. Un nombre entre 0 et 1 ne prend qu’une partie de la flèche ; un nombre négatif la retourne.

Avec Libres, les deux étapes sont de fines flèches bleues : a·v depuis O, puis b·w depuis sa pointe. La flèche bleue épaisse de O à P représente leur somme. Les petits points sombres correspondent aux dosages à coefficients entiers. Si v et w ne sont pas colinéaires, modifier seulement a déplace P parallèlement à v, et modifier seulement b le déplace parallèlement à w. Ainsi, a et b sont les coordonnées de P dans le quadrillage oblique de v et w. La zone bleu pâle contient tous les points accessibles avec les dosages autorisés.

Si v et w ne sont pas colinéaires, chaque point du plan s’écrit d’une seule manière comme leur combinaison linéaire. Une construction l’explique. Par P, tracez la parallèle à w : elle coupe la droite de v en un seul point, égal à a·v pour une seule valeur de a. Le trajet restant, de a·v à P, suit w : c’est donc b·w. L’option Parallèles trace cette construction en jaune.

Si v et w sont sur une même droite passant par O, toutes leurs combinaisons restent sur cette droite et le quadrillage oblique s’y écrase. Les points extérieurs sont inaccessibles ; chaque point de la droite admet une infinité de dosages. Avec v = (2, 1) et w = −2v, le point (4, 2) vaut 2v + 0w, mais aussi 0v − 1w ou 4v + 1w. Si les deux vecteurs sont nuls, seul O est accessible.

Imposons maintenant une somme des coefficients égale à 1, avec a = 1 − μ et b = μ. Alors P − v = μ(w − v) : lorsque v ≠ w, P suit la droite passant par les deux pointes. Il est à la pointe de v pour μ = 0, à celle de w pour μ = 1, et se déplace proportionnellement entre les deux. P est entre les pointes si et seulement si les deux poids sont au moins égaux à 0. Au-delà de la pointe de w, le poids 1 − μ de v est négatif.

Lorsque v et w ne sont pas colinéaires, fixer plutôt a + b = k place P sur la droite passant par kv, de direction w − v, parallèle à celle passant par les pointes. L’option Sommes égales trace ces droites pour les entiers k. Elles sont régulièrement espacées, et leur distance à O est proportionnelle à |k|.

Si v et w ne sont pas colinéaires, les contraintes sur les coefficients dessinent des formes. Avec a, b ≥ 0 (Secteur angulaire), les dosages remplissent l’angle entre les demi-droites de v et w. Avec 0 ≤ a, b ≤ 1 (Parallélogramme), ils remplissent le parallélogramme construit sur v et w. Avec a, b ≥ 0 et a + b ≤ 1 (Triangle), ils remplissent le triangle de sommets O et les deux pointes.