線形結合

2つのベクトルv、wと2つの数a、bを取ります。av + bwは、a、bを係数とするv、wの線形結合です。vのa倍だけ進み、続けてwのb倍だけ進みます。係数には任意の実数を使えます。0と1の間の数なら矢印の一部を取り、負の数なら向きを反転させます。

自由を選ぶと、2つの移動が細い青の矢印で示されます。Oからa·v、その先端からb·wへ進みます。OからPへの太い青い矢印がその和です。小さな黒い点は整数係数の組み合わせを示します。vとwが同一直線上になければ、aだけを変えるとPはvに平行に、bだけを変えるとwに平行に動きます。したがってa、bは、v、wの斜めの格子で測ったPの座標です。淡い青の領域は、許された組み合わせ方で届くすべての点を表します。

vとwが同一直線上になければ、平面のどの点も2つのベクトルの線形結合でただ1通りに表せます。作図で理由を確かめましょう。Pを通りwに平行な直線を引くと、vの直線とただ1点で交わります。その点はただ1つのaによってa·vと表せます。a·vからPまでの残りはwに沿うので、b·wです。平行線を選ぶと、この作図が黄色で表示されます。

vとwがOを通る同じ直線上にあると、どの組み合わせもその直線上にとどまり、斜めの格子は直線につぶれます。外の点には届かず、直線上の各点には無数の組み合わせ方があります。v = (2, 1)、w = −2vなら、(4, 2)は2v + 0wとも、0v − 1wとも、4v + 1wとも表せます。両方が零ベクトルなら、届くのはOだけです。

次にa = 1 − μ、b = μとして、係数の和を1にします。するとP − v = μ(w − v)なので、v ≠ wならPは2つの先端を通る直線上を動きます。μ = 0ではvの先端、μ = 1ではwの先端にあり、その間ではμに比例して進みます。Pが2つの先端の間にあることと、両方の重みが0以上であることは同値です。wの先端を越えると、vの重み1 − μが負になります。

vとwが同一直線上になく、代わりにa + b = kを固定すると、Pはkvを通りw − vの方向を持つ直線上にあります。これは2つの先端を通る直線に平行です。等和線は整数kに対してこの直線を描きます。直線どうしの間隔は等しく、Oからの距離は|k|に比例します。

vとwが同一直線上にない場合、係数に制約を付けると図形が生まれます。a, b ≥ 0（角領域）では、vとwの半直線の間の角を埋めます。0 ≤ a, b ≤ 1（平行四辺形）では、vとwを辺とする平行四辺形を埋めます。a, b ≥ 0かつa + b ≤ 1（三角形）では、Oと2つの先端を頂点とする三角形を埋めます。