線形包

ベクトルの線形包は、任意の実数を係数とする線形結合すべてからなる集合です。必ず原点Oを含み、3次元空間ではOのみ、Oを通る直線、Oを通る平面、空間全体のいずれかになります。

初期画面でOを通るガラスの円盤は$W$、つまり$\vec v$と$\vec w$の線形包です。刻まれた格子の交点は整数係数の組み合わせ$c_1\vec v + c_2\vec w$です。平面は無限に続くため、円盤の縁は薄れていきます。薄い円盤は整数$k$に対する層$W + k\vec u$、青い円盤は目標点Tを通る平面$W + s\vec u$です。細い青い矢印を$c_1\vec v$、$c_2\vec w$、$s\vec u$の順につなぐとOからTへ到達します。$\vec u$の先端から$W$に下ろした赤い線分の長さは$|h|$で、$h$は平面から測った$\vec u$の符号付きの高さです。

なぜ第3のベクトルで次元が1つ増えるのでしょうか。$\vec v$、$\vec w$、$\vec u$のどの組み合わせも、$W$上の点を$\vec u$の$s$倍だけ移したものです。したがって線形包は、$s$がすべての実数を動くときの平面$W + s\vec u$の合併です。$\vec u$が$W$の外にあれば、$s$と$s + 1$に対応する平面の間隔は$|h|$です。$s$が実数全体を動くと、平面は空間全体を通り抜けます。

今度は$\vec u$を下げ、平面からわずかに離れた位置に置きます。初期値$\vec v = (2, 1, 0)$、$\vec w = (0, 1, 2)$では、$\vec u = (1, 1, 1.01)$と$W$の距離は約0.004ですが、線形包は依然として空間全体です。$(0, 0, 1)$に届くには$s = 100$が必要です：$(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$。$W$の外の目標を固定すると、$|h|$が小さいほど$|s|$を大きくする必要がありますが、解は必ずあります。$h$がちょうど0になったときだけ、すべての平面$W + s\vec u$が$W$と重なり、$\vec v$、$\vec w$、$\vec u$の線形包は$W$に戻ります。

すべてが0ではない係数で線形結合を作り、零ベクトルにできるとき、ベクトルは線形従属です。各ベクトルが零でなければ、このページはそれを閉路として描きます。ベクトルの倍数を先端と始点でつなぐとOに戻ります。これは、いずれか1本が他のベクトルの組み合わせで表せることと同値です。$\vec v$、$\vec w$、$\vec u = (1, 1, 1)$のどの2本も平行ではありませんが、$\vec u$が$W$内にあるため、3本は線形従属です。

閉路があると、1つの点に到達する組み合わせ方も複数あります。Tに到達する組み合わせに閉路の0でない倍数を加えると、係数は変わりますが到達点は変わりません。

線形包の次元は、与えられたベクトルから選べる線形独立なベクトルの本数の最大値です。