Math

الجبر الخطي · الفضاء المولّد خطيًا

الفضاء المولّد خطيًا

الفضاء المولّد من متجهات هو مجموعة جميع تراكيبها الخطية. في الفضاء، يولّد متجهان غير واقعين على مستقيم واحد مستوى يمر بنقطة الأصل. لا يضيف المتجه الثالث بُعدًا إلا إذا خرج من هذا المستوى، ولو قليلًا؛ أما إذا كان فيه فلا يضيف شيئًا، وتكون المتجهات الثلاثة مرتبطة خطيًا.

الفضاء المولّد خطيًا في هذا التصوّر

الفضاء المولّد من متجهات هو مجموعة جميع تراكيبها الخطية بمعاملات حقيقية كيفما كانت. يحتوي دائمًا على نقطة الأصل O، وفي الفضاء الثلاثي الأبعاد يكون O وحدها، أو مستقيمًا أو مستوى يمر بـO، أو الفضاء كله.

الفضاء المولّد من ثلاثة متجهات
span⁡(v⃗,w⃗,u⃗)={ c1v⃗+c2w⃗+c3u⃗  :  c1,c2,c3∈R }\operatorname{span}(\vec v, \vec w, \vec u) = \{\, c_1\vec v + c_2\vec w + c_3\vec u \;:\; c_1, c_2, c_3 \in \mathbb R \,\}

في العرض الأول، القرص الزجاجي المار بـO هو WW، أي الفضاء المولّد من v⃗\vec v وw⃗\vec w. تقاطعات الشبكة المنقوشة عليه هي التراكيب ذات المعاملات الصحيحة c1v⃗+c2w⃗c_1\vec v + c_2\vec w؛ وتتلاشى حافته لأن المستوى يمتد بلا نهاية. الأقراص الأخفت هي الطبقات W+ku⃗W + k\vec u للأعداد الصحيحة kk، والقرص الأزرق هو المستوى W+su⃗W + s\vec u المار بالهدف T. سلسلة من الأسهم الزرقاء الرفيعة تصل من O إلى T: أولًا c1v⃗c_1\vec v، ثم c2w⃗c_2\vec w، ثم su⃗s\vec u. القطعة الحمراء الهابطة من رأس u⃗\vec u إلى WW طولها ∣h∣|h|، حيث hh هو الارتفاع الموقّع للمتجه u⃗\vec u عن المستوى.

كيف يضيف متجه ثالث بُعدًا كاملًا؟ كل تركيب من v⃗\vec v وw⃗\vec w وu⃗\vec u هو نقطة من WW أُزيحت بمقدار ss مضروبًا في u⃗\vec u. لذا فالفضاء المولّد هو اتحاد المستويات W+su⃗W + s\vec u لكل القيم الحقيقية لـss. إذا كان u⃗\vec u خارج WW، فالمستويان عند ss وs+1s + 1 تفصل بينهما مسافة ∣h∣|h|. وعندما يأخذ ss جميع القيم الحقيقية، تمسح المستويات الفضاء كله.

اخفض الآن u⃗\vec u حتى يبقى خارج المستوى بقليل. مع القيم الابتدائية v⃗=(2,1,0)\vec v = (2, 1, 0) وw⃗=(0,1,2)\vec w = (0, 1, 2)، يبعد u⃗=(1,1,1.01)\vec u = (1, 1, 1.01) نحو 0.004 عن WW، لكن الفضاء المولّد يظل الفضاء كله. يتطلب الوصول إلى (0,0,1)(0, 0, 1) أن يكون s=100s = 100: (0,0,1)=−50v⃗−50w⃗+100u⃗(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u. لهدف ثابت خارج WW، كلما صغر ∣h∣|h| وجب أن يكبر ∣s∣|s|، لكن يوجد حل دائمًا. فقط عندما يساوي hh الصفر تمامًا يبقى كل مستوى W+su⃗W + s\vec u مطابقًا لـWW، ويعود الفضاء المولّد من v⃗\vec v وw⃗\vec w وu⃗\vec u إلى WW.

تكون المتجهات مرتبطة خطيًا إذا وُجد تركيب منها بمعاملات ليست كلها صفرًا يساوي المتجه الصفري. عندما تكون المتجهات غير صفرية، تعرض الصفحة ذلك كمسار مغلق: توصل مضاعفاتها رأسًا بذيل حتى تعود إلى O. وبعبارة مكافئة، يكون أحدها تركيبًا من البقية. لا يوجد زوج متوازٍ بين v⃗\vec v وw⃗\vec w وu⃗=(1,1,1)\vec u = (1, 1, 1)، ومع ذلك فالثلاثة مرتبطة خطيًا لأن u⃗\vec u يقع في WW:

متجه ثالث داخل W يغلق مسارًا
12v⃗+12w⃗−u⃗=0⃗,u⃗=12v⃗+12w⃗\tfrac12\vec v + \tfrac12\vec w - \vec u = \vec 0, \qquad \vec u = \tfrac12\vec v + \tfrac12\vec w

المسار المغلق يعني أيضًا أن للنقطة تمثيلات عديدة. إضافة مضاعف غير صفري للمسار إلى تمثيل T تغيّر المعاملات ولا تغيّر النقطة.

بُعد الفضاء المولّد هو أكبر عدد من المتجهات المستقلة خطيًا التي يمكن اختيارها من هذه المتجهات.

ما يجدر ملاحظته

  • في المنظور، قد يبدو الرأس ملامسًا لمستوى لا يلامسه فعلًا. توضّح القطعة الحمراء وقراءة الارتفاع ذلك؛ ويعرض خيار من الحافة المستوى WW كمستقيم واحد.

التحكم

  • يحرّك المنزلق الأحمر تحت المتجه الثالث u المتجه u⃗\vec u عموديًا خارج المستوى أو عائدًا إليه، ويثبت عند 0. تحرّك العجلتان p وq المتجه u⃗\vec u داخل طبقته.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Linear span (الإنجليزية); ويكيبيديا: Linear independence (الإنجليزية).