線性生成空間

幾個向量的線性生成空間是它們所有線性組合構成的集合，係數可取任意實數。它一定包含原點O；在三維空間中，它可能只有O、是通過O的直線或平面，或是整個空間。

初始畫面中，通過O的玻璃圓盤是$W$，也就是$\vec v$與$\vec w$的線性生成空間。刻線的交點是整數係數的組合$c_1\vec v + c_2\vec w$；平面無限延伸，所以圓盤邊緣逐漸淡去。較淡的圓盤是各層$W + k\vec u$，其中$k$取整數；藍色圓盤是通過目標點T的平面$W + s\vec u$。細藍箭頭依序沿$c_1\vec v$、$c_2\vec w$、$s\vec u$從O走到T。從$\vec u$尖端垂直落到$W$的紅色線段長$|h|$，其中$h$是$\vec u$離平面的有向高度。

為什麼第三個向量能增加整整一個維度？$\vec v$、$\vec w$與$\vec u$的每個組合，都是$W$上的一點再沿$\vec u$移動$s$倍，因此線性生成空間是所有平面$W + s\vec u$的聯集，$s$取遍實數。$\vec u$不在$W$上時，$s$與$s + 1$對應的平面相距$|h|$；$s$取遍實數，這些平面便掃過整個空間。

現在把$\vec u$壓低，直到它只差一點就到平面。使用預設的$\vec v = (2, 1, 0)$與$\vec w = (0, 1, 2)$時，$\vec u = (1, 1, 1.01)$離$W$約0.004，線性生成空間卻仍是整個空間。到達$(0, 0, 1)$需要$s = 100$：$(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$。對$W$外固定的目標而言，$|h|$越小，$|s|$就得越大，但總有解。只有$h$恰好為0時，每張平面$W + s\vec u$才都停留在$W$，而$\vec v$、$\vec w$與$\vec u$的線性生成空間才退回$W$。

若向量有一個係數不全為0的線性組合等於零向量，它們就線性相依。向量皆非零時，畫面將其畫成閉合路徑：把向量的倍數首尾相接，就能走回O。等價地，其中一個向量可表示為其餘向量的組合。$\vec v$、$\vec w$與$\vec u = (1, 1, 1)$兩兩都不平行，卻線性相依，因為$\vec u$在$W$內：

有閉合路徑，也表示同一點有多種配方。把閉合路徑的非零倍數加到T的配方上，係數改變，點卻不變。

線性生成空間的維度，是這些向量中最多能選出多少個線性獨立的向量。