Линейная оболочка

Линейная оболочка векторов — множество всех их линейных комбинаций с произвольными вещественными коэффициентами. Она всегда содержит начало координат O и в трёхмерном пространстве может быть только O, прямой или плоскостью через O либо всем пространством.

В начальном виде стеклянный диск через O — это $W$, линейная оболочка $\vec v$ и $\vec w$. Пересечения нанесённой сетки — комбинации с целыми коэффициентами $c_1\vec v + c_2\vec w$; край диска постепенно исчезает, поскольку плоскость бесконечна. Бледные диски — слои $W + k\vec u$ при целых $k$, а синий диск — плоскость $W + s\vec u$ через цель T. Цепочка тонких синих стрелок ведёт от O к T: сначала $c_1\vec v$, затем $c_2\vec w$, затем $s\vec u$. Длина красного отрезка от конца $\vec u$ до $W$ равна $|h|$, где $h$ — высота $\vec u$ над плоскостью с учётом знака.

Почему третий вектор может добавить целое измерение? Любая комбинация $\vec v$, $\vec w$ и $\vec u$ — точка $W$, сдвинутая на $s$, умноженное на $\vec u$. Поэтому оболочка — объединение плоскостей $W + s\vec u$ по всем вещественным $s$. Если $\vec u$ вне $W$, расстояние между плоскостями при $s$ и $s + 1$ равно $|h|$. Когда $s$ пробегает все вещественные числа, плоскости проходят через всё пространство.

Теперь опустите $\vec u$ почти до плоскости. При исходных $\vec v = (2, 1, 0)$ и $\vec w = (0, 1, 2)$ вектор $\vec u = (1, 1, 1.01)$ находится примерно в 0.004 от $W$, но оболочка по-прежнему занимает всё пространство. Чтобы достичь $(0, 0, 1)$, нужно $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Для фиксированной цели вне $W$ чем меньше $|h|$, тем больше должно быть $|s|$, но решение всегда существует. Только когда $h$ в точности равно 0, каждая плоскость $W + s\vec u$ совпадает с $W$, а оболочка $\vec v$, $\vec w$ и $\vec u$ снова сужается до $W$.

Векторы линейно зависимы, если существует их комбинация, равная нулевому вектору, в которой хотя бы один коэффициент ненулевой. Если сами векторы ненулевые, страница показывает замкнутый путь: их кратные, приставленные началом к концу предыдущего, возвращают к O. Равносильно этому один вектор выражается через остальные. Никакие два из $\vec v$, $\vec w$ и $\vec u = (1, 1, 1)$ не параллельны, но все три зависимы, потому что $\vec u$ лежит в $W$:

Замкнутый путь также означает, что у точки много представлений. Прибавление ненулевого кратного этого пути к представлению T меняет коэффициенты, но не точку.

Размерность оболочки — наибольшее число линейно независимых векторов, которое можно выбрать среди данных.