Sottospazio generato

Lo spazio generato da vettori è l’insieme di tutte le loro combinazioni lineari con coefficienti reali qualsiasi. Contiene sempre l’origine O e, in tre dimensioni, è solo O, una retta o un piano passante per O, oppure tutto lo spazio.

Nella vista iniziale, il disco di vetro passante per O è $W$, lo spazio generato da $\vec v$ e $\vec w$. Gli incroci della griglia incisa sono le combinazioni con coefficienti interi $c_1\vec v + c_2\vec w$; il bordo sfuma perché il piano continua all’infinito. I dischi più tenui sono gli strati $W + k\vec u$ per interi $k$, e il disco blu è il piano $W + s\vec u$ passante per l’obiettivo T. Una catena di frecce blu sottili va da O a T: $c_1\vec v$, poi $c_2\vec w$, poi $s\vec u$. Il segmento rosso che scende dalla punta di $\vec u$ a $W$ ha lunghezza $|h|$, dove $h$ è l’altezza con segno di $\vec u$ rispetto al piano.

Perché un terzo vettore può aggiungere un’intera dimensione? Ogni combinazione di $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u$ è un punto di $W$ spostato di un multiplo $s$ di $\vec u$. Lo spazio generato è quindi l’unione dei piani $W + s\vec u$ per tutti i reali $s$. Se $\vec u$ è fuori da $W$, i piani corrispondenti a $s$ e $s + 1$ distano $|h|$. Quando $s$ percorre i numeri reali, i piani attraversano tutto lo spazio.

Abbassa ora $\vec u$ finché è appena fuori dal piano. Con i valori iniziali $\vec v = (2, 1, 0)$ e $\vec w = (0, 1, 2)$, $\vec u = (1, 1, 1.01)$ dista circa 0.004 da $W$, ma lo spazio generato resta tutto lo spazio. Raggiungere $(0, 0, 1)$ richiede $s = 100$: $(0, 0, 1) = -50\vec v - 50\vec w + 100\vec u$. Per un obiettivo fisso fuori da $W$, più piccolo è $|h|$, più grande deve essere $|s|$, ma una soluzione esiste sempre. Solo quando $h$ è esattamente 0 ogni piano $W + s\vec u$ coincide con $W$, e lo spazio generato da $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u$ torna a essere $W$.

I vettori sono linearmente dipendenti se una loro combinazione con coefficienti non tutti nulli è il vettore nullo. Quando i vettori sono non nulli, la pagina lo mostra come un percorso chiuso: i loro multipli, disposti punta contro coda, tornano a O. Equivalentemente, uno è combinazione degli altri. Nessuna coppia tra $\vec v$, $\vec w$ e $\vec u = (1, 1, 1)$ è parallela, ma i tre sono dipendenti perché $\vec u$ appartiene a $W$:

Un percorso chiuso significa anche che un punto ha molte ricette. Aggiungendo un multiplo non nullo del percorso a una ricetta di T cambiano i coefficienti, ma non il punto.

La dimensione dello spazio generato è il massimo numero di vettori indipendenti che si possono scegliere tra quelli dati.