Math

الجبر الخطي · المحدّد

المحدّد

محدّد مصفوفة ⁦2 × 2⁩ هو المساحة الموجّهة لمتوازي الأضلاع الذي يولّده عموداها: ⁦det A = ad − bc⁩. تُضرب كل مساحة في المستوى في ⁦|det A|⁩، وتعني الإشارة السالبة أن اتجاه المستوى قد انعكس.

المحدّد في هذا التصور

المصفوفة ⁦A = (a b; c d)⁩ ذات الحجم ⁦2 × 2⁩ هي تحويل خطي للمستوى. تنقل ⁦î⁩ و⁦ĵ⁩ إلى عموديها ⁦a₁ = (a, c)⁩ و⁦a₂ = (b, d)⁩، لذا يصبح مربع الوحدة متوازي الأضلاع الذي ضلعاه ⁦a₁⁩ و⁦a₂⁩. محدّد ⁦A⁩ هو المساحة الموجّهة لهذا المتوازي.

الصيغة والمثال الافتراضي للصفحة
det⁡A=∣abcd∣=ad−bcdet⁡(2−111)=2⋅1−(−1)⋅1=3\begin{gathered} \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc \\[0.6ex] \det \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = 2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3 \end{gathered}

يُظهر الرسم المستوى قبل ⁦A⁩ وبعدها: الشبكة القياسية بخطوط متقطعة باهتة، والشبكة التي تنتجها ⁦A⁩ بلون الحبر، وصورة مربع الوحدة على هيئة متوازي أضلاع أصفر. يدور القوس الأصفر الصغير قرب الأصل من ⁦a₁⁩ إلى ⁦a₂⁩ في الاتجاه الأقصر. الراية شكل يتحوّل مع المستوى: موضعها الأول متقطع، والموضع الذي تنقلها إليه ⁦A⁩ بخطوط متصلة.

لا يقتصر المحدّد على مربع الوحدة. فكل مربع في الشبكة يصبح نسخة من متوازي الأضلاع نفسه، لذا تُضرب مساحة أي منطقة مكوّنة من مربعات الشبكة في ⁦|det A|⁩. وينطبق الأمر نفسه على شبكة أدق. يمكن ملء أشكال مثل القرص بمربعات صغيرة بدقة متزايدة، لذا تُضرب مساحاتها أيضًا في ⁦|det A|⁩. عند اختيار دائرة، يتحوّل قرص الوحدة ذي المساحة ⁦π⁩ إلى قطع ناقص مساحته ⁦|det A|·π⁩، أو إلى قطعة مستقيمة أو نقطة عندما ⁦det A = 0⁩.

تُضرب كل مساحة في العدد نفسه
المساحة⁡(A(S))=∣det⁡A∣⋅المساحة⁡(S)\operatorname{المساحة}\bigl(A(S)\bigr) = \lvert \det A \rvert \cdot \operatorname{المساحة}(S)

تخبرنا الإشارة إن كان اتجاه المستوى قد انعكس. إذا كان الدوران الأقصر من ⁦a₁⁩ إلى ⁦a₂⁩ عكس عقارب الساعة، كما من ⁦î⁩ إلى ⁦ĵ⁩، فإن ⁦A⁩ يحفظ اتجاه المستوى ويكون ⁦det A > 0⁩. وإذا كان مع عقارب الساعة، فإن ⁦A⁩ يعكس اتجاه المستوى: تتجه الراية إلى الناحية الأخرى، ويحلّ التهشير محلّ التعبئة الصفراء، ويكون ⁦det A < 0⁩. يتغيّر المحدّد باستمرار مع عناصر المصفوفة، لذا لا يمكنه القفز من قيمة موجبة إلى سالبة. اسحب ⁦a₂⁩ عبر المستقيم المارّ في اتجاه ⁦a₁⁩: ينبسط متوازي الأضلاع أولًا إلى قطعة مستقيمة، حيث ⁦det A = 0⁩، ثم ينعكس اتجاهه.

عندما ⁦det A = 0⁩، يقع العمودان على مستقيم واحد، ويضغط ⁦A⁩ المستوى كله إليه، أو إلى النقطة الوحيدة ⁦O⁩ إذا كانت ⁦A⁩ المصفوفة الصفرية. عندئذ تنتقل نقاط مختلفة إلى الموضع نفسه، ولا يمكن استعادة النقطة الأصلية، لذا لا معكوس لـ⁦A⁩.

لماذا ⁦ad − bc⁩؟ فعّل البناء بالقصّ وادفع. يزيح القصّ ضلعًا من متوازي الأضلاع بمحاذاة خط الضلع الآخر. تبقى القاعدة والارتفاع ثابتين، وكذلك المساحة. عندما ⁦det A ≠ 0⁩ وتكون ⁦|a|⁩ أكبر من ⁦|c|⁩ أو تساويها، يُدفع ⁦a₂⁩ أولًا بمحاذاة ⁦a₁⁩ حتى يصبح رأسيًا عند ⁦(0, h)⁩، حيث ⁦h = d − bc/a⁩. ثم يُدفع ⁦a₁⁩ بمحاذاة ذلك الضلع الرأسي حتى يقع على محور ⁦x⁩ عند ⁦(a, 0)⁩. ينتج مستطيل ضلعاه ⁦|a|⁩ و⁦|h|⁩، ومساحته الموجّهة ⁦a·h = ad − bc⁩. عندما تكون ⁦|c|⁩ أكبر من ⁦|a|⁩، تبني الصفحة المستطيل بالاتجاه الآخر، وبالمساحة الموجّهة نفسها. إذا كان ⁦det A = 0⁩، فمتوازي الأضلاع منبسط ولا يمكن بناء مستطيل.

يحوّل قصّان متوازي الأضلاع إلى مستطيل له المساحة نفسها
a2→a2−ba a1=(0, h),h=d−bcaa⋅h=a(d−bca)=ad−bc\begin{gathered} a_2 \to a_2 - \tfrac{b}{a}\,a_1 = (0,\ h), \quad h = d - \tfrac{bc}{a} \\[0.6ex] a\cdot h = a\Bigl(d - \tfrac{bc}{a}\Bigr) = ad - bc \end{gathered}

إضافة مضاعف أحد العمودين إلى الآخر هي قصّ من هذا النوع تمامًا، لذا لا تغيّر المحدّد أبدًا.

ما يجدر ملاحظته

  • عند تفعيل البناء بالقصّ، لا تتغيّر ⁦A⁩. النسخة التي تدفعها صفراء، أما متوازي أضلاع ⁦A⁩ الأصلي فيبقى ظاهرًا بحدود متقطعة باهتة.
  • عندما ⁦det A = 0⁩ لكن ⁦A⁩ غير صفرية، يكون الخط المتصل هو صورة المستوى كله، والخط المتقطع هو ما ينتقل إلى ⁦O⁩. وقد يكونان المستقيم نفسه، كما في ⁦A = (1 −1; 1 −1)⁩.

مفاهيم ذات صلة

للمزيد من القراءة: ويكيبيديا: Determinant (الإنجليزية); OpenStax, College Algebra 2e, 7.8 Solving Systems with Cramer’s Rule (الإنجليزية).